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140 2. Estimaci´ on puntual

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Puede comprobarse que θ no es insesgado para θ pero es asint´oticamente
n
insesgado, pues

n ´ 1 n ´ 1 n ´ 1
ˆ 2 2
Epθ q“ Ep S q“ EpS q“ θ ÝÝÝÑ θ.
n
n n n nÑ8
ˆ
De esta manera, aunque θ no cumple la propiedad de ser insesgado, su valor
n
promedio no dista demasiado del valor del par´ametro a estimar cuando el
tama˜no de la muestra es grande. ‚

Funciones de estimadores asint´oticamente insesgados

ˆ
Sea θ un estimador asint´oticamente insesgado para un par´ametro θ, cons-
n
truido a partir de una muestra aleatoria de tama˜no n,ysea ϕ una funci´on
dada, con dominio de definici´on adecuado. La pregunta que nos planteamos
es la siguiente: ¿Se preserva el insesgamiento asint´otico bajo transformacio-
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nes? Es decir, nos preguntamos si ϕpθ q tambi´en es un estimador asint´oti-
n
camente insesgado para ϕpθq. La respuesta es, en general, negativa. Resulta
que la propiedad de insesgamiento asint´otico no se preserva bajo transfor-
maciones y no es muy dif´ıcil dar un ejemplo de esta situaci´on. Considere la
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2
funci´on ϕpxq“ x aplicada al estimador insesgado θ “pX ` X q{2para
n
1
n
ˆ
el par´ametro θ de la distribuci´on Poisson. Siendo θ insesgado, es asint´oti-
n
2
2
camente insesgado. Sin embargo, Epθ q no converge a θ pues se puede
n
2
ˆ 2
comprobar que Epθ q“ θ ` θ{2.
n
Anteriormente hab´ıamos mencionado que, en general, el insesgamiento se
preserva ´unicamente bajo transformaciones lineales. Como todo estimador
insesgado es asint´oticamente insesgado, la misma afirmaci´on se cumple para
la preservaci´on del insesgamiento asint´otico.
Ejercicios

158. Distribuci´on Bernoulli. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
una distribuci´on Berpθq, con θ desconocido. Demuestre que el estima-
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¯
dor Xp1 ´ Xq es asint´oticamente insesgado para la varianza de esta
distribuci´on.