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138 2. Estimaci´ on puntual

154. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on con fun-
1
n
ci´on de densidad o de probabilidad fpx, θq dependiente de un par´ame-
tro desconocido θ ytalquesumediaes estemismo par´ametro. Sean
a ,...,a constantes cualesquiera tales que a `¨ ¨ ¨`a ‰ 0. Demues-
n
n
1
1
tre que el siguiente estimador es insesgado para θ.
2
2
1
ˆ a X ` a X `¨ ¨ ¨ ` a X n
1
n
θ “ .
a `¨ ¨ ¨ ` a n
1
155. Proceso de Poisson. En el ejercicio 128 se pide encontrar el esti-
mador m´aximo veros´ımil para el par´ametro θ del proceso de Poisson.
Demuestre que este estimador, el cual aparece especificado abajo, es
insesgado.
ˆ X t n
θ “ .
t n

156. Movimiento browniano. En el ejercicio 129 se pide encontrar el
estimador m´aximo veros´ımil para el par´ametro θ del movimiento brow-
niano. Demuestre que este estimador, el cual aparece especificado aba-
jo, es insesgado.
n 2
1 ÿ pB ´ B q
ˆ t i t i´1
θ “ .
n t ´ t i´1
i
i“1
157. El insesgamiento no se preserva bajo transformaciones. Sea
ˆ
τpθq una funci´on parametral. Si θ es un estimador insesgado para θ,
ˆ
entonces no necesariamente τpθq es insesgado para τpθq.Compruebe
¯
ˆ
esta afirmaci´on en el caso del estimador insesgado θ “ X para el
2
par´ametro de la distribuci´on Berpθq yla funci´on parametral τpθq“ θ .

2.5. Insesgamiento asint´otico

ˆ
Si un estimador θ para un par´ametro desconocido θ no es insesgado, entonces
ˆ
se dice que es sesgado y a la diferencia Epθq´θ se le llama sesgo. Es posible
que este sesgo pueda hacerse cada vez m´as peque˜no conforme el tama˜no de la
muestra n crece. Si en el l´ımite cuando n Ñ8 el sesgo se hace cero, entonces
se dice que el estimador es asint´oticamente insesgado. Antes de escribir el
enunciado formal de esta definici´on debemos mencionar que escribiremos