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2.4 Insesgamiento 137

149. Combinaci´on lineal convexa de estimadores insesgados. Sean
ˆ
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θ y θ dos estimadores insesgados para un par´ametro θ.Demuestre
1
2
que, para cualquier valor real de α,el siguienteestimador tambi´en es
insesgado para θ.
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ˆ
ˆ
θ “ α θ `p1 ´ αq θ .
1
2
150. Distribuci´on normal. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una
1
n
poblaci´on con distribuci´on Np0, θq, con θ ą 0desconocido.Demuestre
que el siguiente estimador es insesgado para θ.
n
1 ÿ
ˆ 2
θ “ X .
i
n
i“1
151. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on dependiente
n
1
de un par´ametro desconocido θ ycuyamedia esestemismopar´ametro.
Considere la estad´ıstica

T “ ϕ pX q¨¨¨ ϕ pX q,
n
1
1
n
en donde ϕ ,..., ϕ son funciones lineales de coeficientes conocidos.
1
n
Demuestre que T es insesgado para la funci´on parametral
τpθq“ ϕ pθq¨¨¨ ϕ pθq.
n
1
152. Funci´on de un estimador insesgado no es necesariamente in-
¯
ˆ
sesgado. Sabemos que θ “ X es un estimador insesgado para el
par´ametro θ de la distribuci´on Bernoulli. Demuestre directamente que
ˆ
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θp1 ´ θq no es insesgado para la varianza de esta distribuci´on pero es,
sin embargo, asint´oticamente insesgado.

153. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on con funci´on
1
n
de densidad o de probabilidad fpx, θq, cuya media es el par´ametro θ,
considerado desconocido. Sea E el espacio de todos los estimadores
¯
lineales para θ como se especifica abajo. Demuestre que X es el ´unico
elemento de E que es insesgado y tiene varianza m´ınima.

E “ta X `¨ ¨ ¨ ` a X : a ,...,a P Ru.
n
n
n
1
1
1