Page 144 - EI2019.pdf

136 2. Estimaci´ on puntual

145. Considere dada una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq como
aparece especificada abajo, en donde ´1 ă θ ă 1es un par´ametro

desconocido. Demuestre que el estimador por el m´etodo de momentos
ˆ ř n 3
dado por θ “p5{nq X es insesgado.
i“1 i
$
1 ` θx
& si ´ 1 ă x ă 1,
fpx, θq“ 2
0 en otro caso.
%

146. Considere dada una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq como

aparece especificada abajo, en donde θ ą 0esunpar´ametro descono-
cido. Demuestre que el estimador por el m´etodo de momentos dado
ˆ
¯
por θ “ 3X es insesgado.
$
2pθ ´ xq
& si 0 ă x ă θ,
fpx, θq“ θ 2
%
0 en otro caso.

147. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq que se
1
n
especifica abajo, en donde θ ą 0es desconocido.
#
θx θ´1 si 0 ă x ă 1,
fpx, θq“
0 en otro caso.

a)Demuestre que ´ ln X tiene distribuci´on exppθq.
i
b) Demuestre que el estimador por el m´etodo de m´axima verosimi-
ˆ ř n
litud θ “´n{ ln X no es insesgado.
i
i“1
c)Con base en el inciso anterior, encuentre un estimador insesgado
para θ.

148. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una poblaci´on con media
n
1
conocida µ yvarianza desconocida θ.Demuestrequeelsiguiente esti-
mador es insesgado para θ.

n
1 ÿ
ˆ 2
θ “ pX ´ µq .
i
n
i“1