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2.4 Insesgamiento 135

140. Distribuci´on normal. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la
1
n
2
2
distribuci´on Npθ, σ q con θ y σ desconocidos. Demuestre que la es-
tad´ıstica que se define a continuaci´on es un estimador insesgado para
el par´ametro θ.

2
1
ˆ 2X ` 4X `¨ ¨ ¨ ` 2nX n
θ “ .
npn ` 1q
141. Distribuci´on Rayleigh. El estimador por m´axima verosimilitud pa-

ra el par´ametro θ de la distribuci´on Rayleigh, que se especifica abajo,
ˆ ř n 2
es θ “p1{nq X .Demuestrequeesteestimadores insesgado.
i“1 i
$
2x 2
& e ´x {θ si x ą 0,
fpx, θq“ θ
0 en otro caso.
%

142. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on fpx, θq que se
1
n
especifica abajo, en donde θ es un par´ametro desconocido. Demuestre
¯
que X no es un estimador insesgado para θ.Construya unoquelo sea.
#
e ´px´θq si x ą θ,
fpx, θq“
0 en otro caso.

143. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on que aparece
1
n
ˆ
abajo, en donde θ ą 0esunpar´ametro desconocido. Sea θ el estima-
ˆ
dor por m´axima verosimilitud. Demuestre que θ no es un estimador
insesgado para θ. Proponga uno que lo sea.

#
pθ ` 1qx θ si 0 ă x ă 1,
fpx, θq“
0 en otro caso.

144. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on que aparece
n
1
abajo, en donde θ es una constante arbitraria desconocida. Demuestre
¯
que X no es un estimador insesgado para θ.Construya unoquelo sea.

#
e ´px´θq si x ą θ,
fpxq“
0 en otro caso.