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2.4 Insesgamiento 133

X `¨ ¨ ¨ ` X
ˆ 1 m
a) θ “ .
n `¨ ¨ ¨ ` n m
1
X ` 2X `¨ ¨ ¨ ` mX
ˆ 1 2 m
b) θ “ .
n ` 2n `¨ ¨ ¨ ` mn m
2
1
135. Distribuci´on geom´etrica. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
n
1
la distribuci´on geopθq,en donde θ es desconocido.
a)Los estimadores para θ por el m´etodo de momentos y por el
m´etodo de m´axima verosimilitud coinciden y aparece especificado
abajo. Demuestre que este estimador no es insesgado.

1
ˆ
θ “ .
¯
1 ` X
Esto demuestra que el m´etodo de momentos y el m´etodo de m´axi-
ma verosimilitud no garantizan la propiedad de insesgamiento.

b)Demuestre que el siguiente estimador es insesgado para θ.Su-
ponga n ě 2.
1
ˆ
θ “ n ¯ .
1 ` X
n´1
136. Distribuci´on binomial negativa. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de la distribuci´on bin negpr, θq,en dondela probabilidad θ es
desconocida y r ě 1es un enteroconocido.

a)Los estimadores para θ por el m´etodo de momentos y por el
m´etodo de m´axima verosimilitud coinciden y aparece especificado
abajo. Demuestre que este estimador no es insesgado.

r
ˆ
θ “ .
¯
r ` X
Este es otro ejemplo en donde se muestra que el m´etodo de mo-
mentos y el m´etodo de m´axima verosimilitud no garantizan el
insesgamiento.

b)Demuestre que el siguiente estimador es insesgado para θ.Su-
ponga nr ě 2.
1
ˆ
θ “ n ¯ .
1 ` X
nr´1