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134 2. Estimaci´ on puntual

137. Distribuci´on exponencial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria
1
n
de la distribuci´on exppθq,en donde θ es desconocido. Aplicando del
m´etodo de momentos o bien el m´etodo de m´axima verosimilitud, se
obtiene el estimador que aparece abajo. Demuestre que este estimador
no es insesgado. Proponga un estimador insesgado.

ˆ 1
θ “ ¯ .
X

138. Distribuci´on doble exponencial. Sea X ,...,X una muestra alea-
n
1
toria de la distribuci´on doble exponencial de par´ametro desconocido
θ ą 0.

θ
fpx, θq“ e ´θ|x| , ´8 ă x ă 8.
2

ˆ
Demuestre que el estimador por m´axima verosimilitud θ,que aparece
abajo, no es insesgado. Proponga un estimador insesgado.

ˆ 1
θ “ .
n
ÿ
1
i
n |X |
i“1

139. Distribuci´on normal. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de ta-
1
4
2
ma˜no n “ 4de ladistribuci´on Npθ, σ q,en dondela media θ es des-
2
conocida y la varianza σ es conocida. Se proponen los siguientes es-
timadores para θ.Determinecu´al de ellos es el mejor en el sentido de
ser insesgado y tener varianza menor.

ˆ
ˆ
ˆ
a) θ “ X . f ) θ “ X ` θ ´ X .
1
1
1
2
6
4
ˆ
b) θ “ X ` X . g) θ “ p3X ` 2X ` X q.
1
1
4
2
ˆ
ˆ
c) θ “pX ` X q{2. 7 6 1 2 3
4
1
3
ˆ
4
d) θ “pX ` X q{3. ˆ 1 ÿ
4
1
4
8
i
ˆ
¯
e) θ “ X. h) θ “ 10 i“1 iX .
5