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132 2. Estimaci´ on puntual

debe ser una funci´on lineal necesariamente. As´ı, omitiendo los casos trivia-
les de estimadores constantes, ´unicamente para transformaciones lineales se

preserva el insesgamiento de manera general.

Ejercicios

ˆ
130. Sea θ un estimador para un par´ametro θ de una distribuci´on. De-
n
m
ˆ
ˆ
muestre que si θ Ñ θ,entonces θ es asint´oticamente insesgado.
n
n
131. Distribuci´on Bernoulli. Sea X ,X una muestra aleatoria de ta-
1
2
ma˜no n “ 2deladistribuci´on Bernoulli con par´ametro desconocido
θ.Demuestre que el siguiente estimador esinsesgadopara θ.
X ` X
ˆ p1q p2q
θ “ .
2

¯
ˆ
132. Distribuci´on Bernoulli. Sabemos que θ “ X es un estimador in-
sesgado para el par´ametro θ de la distribuci´on Bernoulli. Demuestre
ˆ
ˆ
que el estimador θp1 ´ θq no es insesgado para la varianza de esta dis-
tribuci´on. Este es otro ejemplo que muestra que el insesgamiento no
se preserva bajo transformaciones. Proponga un estimador insesgado
para la varianza.

133. Distribuci´on binomial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de
1
n
la distribuci´on binpk, θq,en donde el n´umero de ensayos k es conoci-
do y la probabilidad θ es desconocida. Demuestre que los siguientes
estimadores son insesgados para el par´ametro θ.

1
ˆ
a) θ “ X 1
k
1
ˆ
b) θ “ pX `¨ ¨ ¨ ` X q.
1
n
kn
134. Distribuci´on binomial. Sean X ,...,X m variables aleatorias in-
1
dependientes tal que la k-´esima variable aleatoria tiene distribuci´on
binpn , θq,para k “ 1,...,m.Supongaquelos par´ametros n ,...,n m
k
1
son conocidos y θ es desconocido. Determine si los siguientes estima-
dores son insesgados para θ.