Page 139 - EI2019.pdf

2.4 Insesgamiento 131

Funciones de estimadores insesgados

ˆ
Sea θ un estimador insesgado para un par´ametro θ ysea ϕ una funci´on
dada, con un dominio de definici´on adecuado. Nos interesa considerar la
ˆ
estad´ıstica ϕpθq yel problemaes elsiguiente: ¿se preserva el insesgamiento
ˆ
bajo transformaciones? Es decir, nos preguntamos si ϕpθq es un estimador
insesgado para ϕpθq.La respuesta es, en general, negativa eilustraremos
2
esto con un ejemplo. Sea ϕpxq“ x .Aplicaremos estafunci´on al estimador
ˆ
¯
insesgado θ “ X para el par´ametro de la distribuci´on Poissonpθq.Tenemos
que

n
ÿ
ˆ 2 2
Epθ q“ Ep X q
i
i“1
n
1 ÿ 1 ÿ
2
“ EpX q` EpX X q
j
i
i
n 2 n 2
i“1 i‰j
n 2 npn ´ 1q 2
“ pθ ` θ q` θ
n 2 n 2
θ 2
“ ` θ
n
2
‰ θ .

ˆ 2
2
Es decir, θ no es insesgado para θ .Este hechoes consecuencia deque,
en general, Epϕp¨qq ‰ ϕpEp¨qq. Sin embargo, es interesante observar que en
2
ˆ 2
este ejemplo en particular se cumple que Epθ qÑ θ cuando n Ñ8.Aesta
propiedad l´ımite de los estimadores le llamaremos insesgamiento asint´otico.
Ese es el tema que estudiaremos en la siguiente secci´on y corresponde a una
propiedad m´as d´ebil que el insesgamiento.

Regresando al tema en estudio, dado que la respuesta a la pregunta arri-
ba planteada es negativa, surge de manera inmediata otra pregunta: ¿ba-

jo qu´econdicionessobre unatransformaci´on se preserva el insesgamiento?
ˆ
ˆ
Tal transformaci´on debe satisfacer Epϕpθqq “ ϕpθq“ ϕpEpθqq.Es decir,
la transformaci´on ϕ debe satisfacer la identidad Epϕp¨qq “ ϕpEp¨qq.Esta
ecuaci´on se cumple en muy pocos casos. En efecto, si consideramos que el
estimador en cuesti´on no es constante, entonces se puede comprobar que ϕ