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2.3 M´ etodo de m´ axima verosimilitud 123

Ejemplo 2.20 Los estimadores m´aximo veros´ımiles para los par´ametros de
¯
2
2
2
la distribuci´on Npµ, σ q son ˆµ “ X yˆσ “ppn ´ 1q{nq S .Porelprincipio
de invarianza, el estimador m´aximo veros´ımil para la funci´on parametral
¯
a) µ ` 5es X ` 5.
¯
b) µ ` σ es X ` a pn ´ 1q{nS.
¯
2
c) µ{σ 2 es pn{pn ´ 1qq X{S .
‚

Ejercicios

116. Suponiendo una muestra aleatoria de tama˜no n,encuentre elestima-
dor por m´axima verosimilitud del par´ametro θ de cada una de las
distribuciones que aparecen en el ejercicio 105 en la p´agina 103.

117. Algunas distribuciones discretas. Compruebe que los estimadores

por el m´etodo de m´axima verosimilitud para los par´ametros de las
distribuciones discretas que aparecen en la Tabla 2.3 son los indicados.
Suponga que X ,...,X es una muestra aleatoria de tama˜no n de la
n
1
distribuci´on en estudio. En caso necesario consulte el Ap´endice A al
final del texto la expresi´on y notaci´on de los par´ametros para estas
distribuciones. Como antes, el par´ametro n se reserva para el tama˜no
de la muestra aleatoria.

118. Distribuci´on binomial. Suponga que los datos que se muestran en
la tabla que aparece abajo corresponden a 50 observaciones de una
variable aleatoria X con distribuci´on binpk, pq, en donde k “ 5y
p es desconocido. Encuentre el estimador m´aximo veros´ımil para la
probabilidad PpX ě 2q.

119. Distribuci´on exponencial. Sea X ,...,X una muestra aleatoria
n
1
de la distribuci´on exppθq,endonde θ ą 0esdesconocido. Supon-
ga que en lugar de observar esta muestra aleatoria se observan las
primeras k estad´ısticas de orden X ď X ď ¨¨¨ ď X ,en don-
p1q p2q pkq
de k ď n.Encuentreel estimadorm´aximo veros´ımil para θ usando
X ,...,X .
p1q pkq