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120 2. Estimaci´ on puntual

Estaremos interesados en encontrar estimadores tambi´en para estas funcio-
nes parametrales, y estos casos incluyen, por supuesto, a los par´ametros

individuales.

ˆ
Supongamos ahora que θ es el estimador m´aximo veros´ımil para θ. Si con-
sideramos a una funci´on parametral τpθq como un nuevo par´ametro que
necesita ser estimado por el m´etodo de m´axima verosimilitud, ¿ser´acierto
ˆ
que su estimador m´aximo veros´ımil es τpθq? Para responder esta pregunta,
observemos que no est´a claro cu´al es la funci´on de verosimilitud asociada a
la funci´on parametral τpθq.Vamos a definirprimero esta funci´on y despu´es
daremos respuesta a la pregunta planteada.

Definici´on 2.9 La funci´on de verosimilitud asociada a una funci´on pa-

rametral τpθq se denota por L ysedefinedela formasiguiente:si η es
˚
un posible valor de τpθq,entonces

L pηq“ sup tLpθq : θ P τ ´1 pηqu. (2.3)
˚
Al posible valor ˆη que maximiza L pηq se le llama el estimador m´aximo
˚
veros´ımil para τpθq.

Observemos que el conjunto que aparece en la identidad (2.3) correspon-
de al conjunto no vac´ıo de todas las evaluaciones Lpθq en donde θ es una
preimagen del valor η ysepuede escribir como Lpτ ´1 pηqq,esto corresponde
a la aplicaci´on de la funci´on L en cada elemento del conjunto τ ´1 pηq.Al
tomar el supremo sobre este conjunto se obtiene la funci´on num´erica L pηq,
˚
la cual estamos definiendo como la funci´on de verosimilitud de la funci´on
parametral τpθq. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.18 Sea Lpθq la funci´on de verosimilitud de una muestra alea-
toria de la distribuci´on Berpθq,con 0 ă θ ă 1. Daremos dos ejemplos de
funciones parametrales y encontraremos las funciones de verosimilitud co-
rrespondientes.

2
‚ Consideremos la funci´on parametral τpθq“ θ .Enestecaso la funci´on
parametral tambi´en toma valores en el intervalo p0, 1q como lo hace