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128 2. Estimaci´ on puntual

Esta es una muy buena propiedad para un estimador, pues siendo un estima-
dor una variable aleatoria, y si su objetivo es estimar el valor del par´ametro,

entonces es alentador saber que su valor promedio es justamente el valor a
estimar. En los siguientes ejemplos mostraremos que es posible verificar esta
propiedad de insesgamiento, a pesar de no conocer el valor del par´ametro.

Ejemplo 2.21 Comprobaremos que la media muestral es un estimador in-
sesgado para el par´ametro de la distribuci´on Poissonpθq.Por la propiedad
de linealidad de la esperanza tenemos que

n n n
1 ÿ 1 ÿ 1 ÿ
¯
EpXq“ Ep X q“ EpX q“ θ “ θ.
i
i
n n n
i“1 i“1 i“1
De esta manera, sin conocer el valor de θ,hemos comprobado quelaespe-
¯
ranza del estimador X es igual a θ. ‚

Es interesante observar que el c´alculo desarrollado en el ejemplo anterior no
depende de la distribuci´on en estudio, de modo que podemos afirmar que la
media muestral es siempre un estimador insesgado del posible par´ametro o
funci´on parametral que pudiera aparecer en la esperanza de la distribuci´on
de inter´es. Por ejemplo, si la distribuci´on en cuesti´on es binpk, pq,entonces
¯
X es un estimador insesgado para la funci´on parametral kp.

Como uno puede imaginar, los estimadores insesgados no son necesariamen-
te ´unicos. Pueden proponerse varias estad´ısticas que resulten ser estimado-
res insesgados para un mismo par´ametro. Esto se muestra en el siguiente
ejemplo.

Ejemplo 2.22 Sea X ,X ,X una muestra aleatoria de tama˜no n “ 3
3
2
1
de la distribuci´on Berpθq,con θ ą 0desconocido. Usando la propiedad de
linealidad de la esperanza, se puede comprobar que todos los siguientes
estimadores para θ son insesgados.

ˆ
a) θ “ X .
1
1
1
ˆ
1
2
2
b) θ “ pX ` 2X q.
3