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122 2. Estimaci´ on puntual

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Teorema 2.1 (Principio de invarianza) Si θ es el estimador m´aximo
veros´ımil para un par´ametro θ,entonces el estimador m´aximo veros´ımil
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para una funci´on parametral τpθq es τpθq.

Demostraci´on. Consideremos primero el caso cuando la funci´on θ ÞÑ
τpθq es uno a uno. Entonces la funci´on inversa de τ existe y la funci´on de
verosimilitud para τpθq se puede expresar de la siguiente forma: si η “ τpθq,

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L pηq“ Lpτ ´1 pηqq “ Lpθq.

˚
De esta manera, el m´aximo de L pηq coincide con el m´aximo de Lpθq yeste
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´ ultimo se alcanza en θ.Entonces L pηq alcanza su m´aximo en η “ τpθq.
Veamos ahora el caso cuando θ ÞÑ τpθq no necesariamente es una funci´on
uno a uno. Por la identidad (2.3), el valor m´aximo del conjunto de valores
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L pηq coincide con el valor m´aximo de Lpθq.Este ´ultimo se alcanza en θ.
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ˆ
Por lo tanto, si ˆη es el valor τpθq,entonces
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L pˆηq“ L pτpθqq “ Lpτ ´1 pτpθqqq Q Lpθq.
ˆ
La ´ultima afirmaci´on establece que Lpθq es un valor tomado por la funci´on
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L pηq.Como Lpθq es el valor m´aximo de Lpθq, tambi´en es el valor m´aximo
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de L pηq y se alcanza para esta ´ultima funci´on en η “ τpθq. ‚
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Observemos que el principio de invarianza es tambi´en v´alido cuando el
par´ametro θ es un vector de par´ametros. En efecto, en la demostraci´on que
hemos presentado no se presupone que θ sea un par´ametro unidimensional.
Veamos algunos ejemplos de este resultado.

Ejemplo 2.19 El estimador m´aximo veros´ımil para el par´ametro θ en la
¯
distribuci´on Bernoulli es X.Entoncesel estimadorm´aximo veros´ımil para la
2
¯ 2
funci´on parametral θ es X . Si ahora consideramos la funci´on parametral
¯
¯
θp1 ´ θq,entonces su estimador m´aximo veros´ımil es Xp1 ´ Xq. ‚