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116 2. Estimaci´ on puntual

Lpθq

1
θ n

ˆ ˆ ˆ θ
x x x
p1q p2q ¨¨¨ pnq

Figura 2.4

As´ı, la funci´on de verosimilitud nunca alcanza su m´aximo, y el estimador
m´aximo veros´ımil no existe. Esta situaci´on puede subsanarse si se considera
que la distribuci´on uniforme se tiene sobre el intervalo con extremo derecho
cerrado p0, θs.Noesdif´ıcil darse cuenta que, en este caso, el estimador
ˆ
m´aximo veros´ımil existe y es θ “ X . ‚
pnq

El siguiente es otro ejemplo de una situaci´on inesperada que surge al aplicar
el m´etodo de m´axima verosimilitud.

Ejemplo 2.17 Consideremos una muestra aleatoria de tama˜no n de una
distribuci´on unifpθ, θ ` 1q,en donde θ es un par´ametro desconocido que
puede tomar cualquier valor real y que deseamos estimar. La funci´on de
verosimilitud de la muestra aleatoria se puede escribir como sigue

Lpθq“ 1 px q¨¨¨ 1 px q
pθ,θ`1q 1 pθ,θ`1q n
“ 1 p´8,x p1q q pθq¨ 1 px pnq ,8q pθ ` 1q

“ 1 px pnq ´1,x p1q q pθq.

La ´ultima igualdad se obtiene de las condiciones θ ă x y θ ` 1 ą x .
p1q pnq
Esto significa que la funci´on de verosimilitud es constante 1 para cualquier
valor de θ en el intervalo px ´ 1,x q, y por lo tanto es m´axima para
pnq p1q
cualquier valor del par´ametro dentro de este intervalo. Es decir, existe una
infinidad no numerable de estimadores m´aximo veros´ımiles. ‚