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2.3 M´ etodo de m´ axima verosimilitud 115

Debe advertirse que la aplicaci´on de las derivadas para encontrar el m´axi-
mo de una funci´on de verosimilitud no siempre produce expresiones cerradas

para el estimador o estimadores, como en los casos mostrados. Por ejem-
plo, para la distribuci´on gamapγ, λq, con ambos par´ametros desconocidos,
ˆ
se encuentra que ˆγ y λ satisfacen ciertas ecuaciones que no son f´aciles de re-
solver y alg´un m´etodo num´erico debe utilizarse. Como un segundo ejemplo,
considere la distribuci´on binpk, pq, con ambos par´ametros desconocidos. La
dificultad aqu´ıradica enque se debe maximizarla funci´on de verosimilitud
para una variable entera k ě 1 y una variable continua p en el intervalo
p0, 1q, para cualquier tama˜no de muestra n. En este caso el proceso de ma-
ximizaci´on no es f´acil de llevar a cabo.

El siguiente ejemplo muestra algunas otras dificultades t´ecnicas que pueden
surgir al buscar el m´aximo de una funci´on de verosimilitud.

Ejemplo 2.16 Consideremos dada una muestra aleatoria tama˜no n de una
distribuci´on unifp0, θq,cuya funci´on de densidad se puede escribir como sigue

1
fpx, θq“ ¨ 1 p0,θq pxq,
θ

en donde θ ą 0esunpar´ametro desconocido que deseamos estimar. La
funci´on de verosimilitud es

1
Lpθq“ ¨ 1 p0,θq px q¨¨¨ 1 p0,θq px q
n
1
θ n
1
“ ¨ 1 px ,8q pθq¨ 1 p0,8q px p1q q.
θ n pnq
Se puede comprobar que la funci´on Lpθq es constante cero hasta el valor
n
x “ m´ax x ,ytoma la expresi´on 1{θ despu´es de ese valor. V´ease la
pnq i i
Figura 2.4, en donde x es el i-´esimo valor ordenado de la muestra. En
piq
este ejemplo, consideramos una distribuci´on de probabilidad en donde es
decisivo en el an´alisis incorporar el soporte de la distribuci´on a trav´es de
una funci´on indicadora.