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2.3 M´ etodo de m´ axima verosimilitud 111

m´aximo. Si x ,...,x son los valores num´ericos observados de la muestra
1
n
ˆ
aleatoria, entonces el n´umero θpx ,...,x q“ 1{¯x es la estimaci´on m´aximo
n
1
veros´ımil. El estimador m´aximo veros´ımil es, entonces, la variable aleatoria
1
ˆ
θ “ .
¯
X
‚

En el ejemplo anterior fue conveniente maximizar la expresi´on ln Lpθq en
lugar de Lpθq. Existe equivalencia entre ambas expresiones en el sentido de

que el punto en donde se alcanza el m´aximo de una de las funciones es el
mismo que para la otra funci´on, aunque los valores m´aximos ser´an distintos.
Observe que no nos interesa calcular el valor m´aximo de la funci´on de ve-
ros´ımil, sino el punto en el que se alcanza ese valor m´aximo. Con frecuencia
se usan transformaciones de este tipo para encontrar con mayor facilidad el
punto buscado.

Por razones de simplicidad hemos escrito la funci´on de densidad de la dis-
tribuci´on exponencial como fpx, θq“ θe ´θx ,sin especificar que x ą 0. En
sentido estricto, a la expresi´on anterior se le debe multiplicar por la fun-
ci´on indicadora 1 p0,8q pxq.Esto no tuvoconsecuencias en el c´alculo anterior
pues en esta funci´on indicadora no aparece el par´ametro θ.Sinembargo,en
aquellas distribuciones en donde el soporte involucra al par´ametro a esti-
mar, es crucial incorporar al c´alculo la funci´on indicadora correspondiente.
M´as adelante proporcionaremos un ejemplo de esta situaci´on. Por ahora
consideraremos un ejemplo de una distribuci´on discreta.

Ejemplo 2.14 Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on
1
n
geopθq, con par´ametro θ desconocido. Encontraremos el estimador por m´axi-
ma verosimilitud para θ.Lafunci´on de verosimilitud es, para θ Pp0, 1q,

Lpθq“ fpx , θq¨¨¨ fpx , θq
1
n
x 1 x n
“ θ p1 ´ θq ¨¨¨ θ p1 ´ θq
n
n¯x
“ θ p1 ´ θq .
La gr´afica de esta funci´on se muestra en la Figura 2.2.