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2.3 M´ etodo de m´ axima verosimilitud 113

Ejemplo 2.15 Dada una muestra aleatoria de tama˜no n de la distribu-
2
ci´on Npµ, σ q, en donde ambos par´ametros son desconocidos, la funci´on de
2
verosimilitud es, para valores µ P R y σ ą 0,

2 2 2
Lpµ, σ q“ fpx ; µ, σ q¨¨¨ fpx ; µ, σ q
1
n
1 2 2 1 2 2
“ ? e ´px 1 ´µq {2σ ¨¨¨ ? e ´px n´µq {2σ
2πσ 2 2πσ 2
ˆ ˙ n{2 n
1 1 ÿ 2
“ exp p´ px ´ µq q.
i
2πσ 2 2σ 2
i“1

La gr´afica de esta funci´on se encuentra en la Figura 2.3 para n “ 2, x “ 1
1
y x “ 3.
2

2
Lpµ, σ q

σ 2

µ

Figura 2.3

Buscamos encontrar el punto en donde esta funci´on de dos variables alcanza
su valor m´aximo. Nuevamente, el logaritmo de esta funci´on adquiere una
expresi´on m´as sencilla. Tenemos que

n
n 1 ÿ
2 2 2
ln Lpµ, σ q“´ ln p2πσ q´ px ´ µq .
i
2 2σ 2
i“1