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114 2. Estimaci´ on puntual

Por lo tanto,

n
B 2 1 ÿ
ln Lpµ, σ q“ px ´ µq,
i
Bµ σ 2
i“1
n
B 2 n 1 ÿ 2
ln Lpµ, σ q“´ ` px ´ µq .
i
Bσ 2 2σ 2 2σ 4
i“1
Igualando a cero ambas derivadas, encontramos un sistema de dos ecuacio-
nes con dos variables,

n
1 ÿ
px ´ µq“ 0,
i
σ 2
i“1
n
n 1 ÿ
´ ` px ´ µq 2 “ 0.
i
2σ 2 2σ 4
i“1
1 ř n 2 1 ř n 2
De estas ecuaciones se obtiene µ “ x y σ “ px ´ ˆµq .Por
n i“1 i n i“1 i
lo tanto, los estimadores por el m´etodo de m´axima verosimilitud son
n
1 ÿ
¯
ˆ µ “ X “ X,
i
n
i“1
n
1 ÿ n ´ 1
¯
2
2
ˆ σ 2 “ pX ´ Xq “ S .
i
n n
i“1
Para verificar que la funci´on de verosimilitud tiene, efectivamente, un m´axi-
mo en el punto encontrado, es necesario calcular la matriz hessiana
¨ ˛
2 2
B 2 B 2
ln Lpµ, σ q ln Lpµ, σ q
˚ BµBµ BµBσ 2 ‹
2
Hpµ, σ q“ ˚ 2 2 ‹ .
˝ B 2 B 2 ‚
ln Lpµ, σ q ln Lpµ, σ q
2
2
Bσ Bµ Bσ Bσ 2
2
2
Se eval´ua H en el punto pˆµ, ˆσ q,y secomprueba quela matriz Hpˆµ, ˆσ q es
negativa definida. V´ease la p´agina 319 del Ap´endice A, en donde se hace
una revisi´on de este procedimiento. Observemos que, para esta distribuci´on,
los estimadores por m´axima verosimilitud coinciden con los encontrados
anteriormente por el m´etodo de momentos. Esto no siempre es as´ı. ‚