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110 2. Estimaci´ on puntual

Ejemplo 2.13 Encontraremos el estimador m´aximo veros´ımil para el par´a-
metro desconocido de una distribuci´on exppθq.Suponiendodadaunamues-

tra aleatoria de tama˜no n de esta distribuci´on, la funci´on de verosimilitud
es, para θ ą 0,

Lpθq“ fpx , θq¨¨¨ fpx , θq
1
n
“ θ e ´θx 1 ¨¨¨ θ e ´θx n
n ´θn¯x
“ θ e .
La gr´afica de esta funci´on se muestra en la Figura 2.1.

Lpθq

ˆ
Lpθq Valor m´aximo

θ
ˆ
θ

Figura 2.1

Maximizar la funci´on Lpθq es equivalente a maximizar ln Lpθq,pues la fun-
ci´on logaritmo es continua y mon´otona creciente en su dominio de definici´on.
Hacemos la operaci´on anterior debido a que la funci´on resultante es m´as f´acil
de maximizar como veremos a continuaci´on. Tenemos que

ln Lpθq“ n ln θ ´ θn¯x.

Derivando respecto a θ e igualando a cero, se llega a la ecuaci´on

n
´ n¯x “ 0,
θ
ˆ
ˆ
de donde se obtiene θ “ 1{¯x.Observe que hemos escrito θ en lugar de θ
en esta ´ultima expresi´on. Calculando la segunda derivada se puede compro-
bar que en este punto la funci´on de verosimilitud tiene, efectivamente, un