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2.3 M´ etodo de m´ axima verosimilitud 109

cierto espacio parametral Θ,yesees eldominio de definici´on de la funci´on
de verosimilitud. El par´ametro desconocido θ puede tomar valores en un

conjunto discreto, o bien en todo un continuo de valores, dependiendo de la
distribuci´on de probabilidad considerada. Los n´umeros x ,...,x son trata-
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dos como constantes y son los valores particulares de las variables aleatorias
con el correspondiente sub´ındice.

Observemos que en la definici´on no se est´asuponiendo necesariamenteque
las variables aleatorias X ,...,X constituyen una muestra aleatoria. Sin
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embargo, cuando sea este el caso, por la hip´otesis de independencia, la fun-
ci´on de verosimilitud adquiere la forma del siguiente producto

Lpθq“ f X 1 px , θq¨¨¨ f X n px , θq. (2.2)
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Y si ahora se usa la hip´otesis de id´entica distribuci´on, entonces se pueden
omitir los sub´ındices de estos factores y escribir
Lpθq“ fpx , θq¨¨¨ fpx , θq.
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En la mayor´ıa de los casos consideraremos que la informaci´on proviene de

una muestra aleatoria y, por lo tanto, la ´ultima expresi´on es la que utiliza-
remos para la funci´on de verosimilitud. La letra L procede del t´ermino en
ingl´es Likelihood,que tradicionalmente se ha traducido como verosimilitud.

¿En qu´econsisteelm´etodo de m´axima verosimilitud? Consiste
en encontrar el valor de θ que maximiza a la funci´on Lpθq.Al valor de
θ en donde Lpθq alcanza su m´aximo se le llama estimaci´on de m´axima
verosimilitud o estimaci´on m´aximo veros´ımil.

La idea intuitiva es muy natural: se debe encontrar el valor de θ de tal
forma que los datos observados x ,...,x tengan m´axima probabilidad de
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ser obtenidos. La probabilidad de observar estos valores est´adirectamente
relacionada con la funci´on de verosimilitud, y por ello se pide maximizarla.
En el caso de una distribuci´on discreta, la funci´on de verosimilitud es exac-

tamente la probabilidad de observar los valores x ,...,x . En ocasiones se
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usa la expresi´on θ mv para denotar el estimador por m´axima verosimilitud
para θ. El significado de las letras que aparecen como sub´ındices es evidente.
Veamos ahora algunos ejemplos.