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2.2 M´ etodo de momentos 99

‚ Existencia de los momentos. El m´etodo de momentos presupone
que existen y que se pueden encontrar expresiones sencillas para los

momentos de la distribuci´on en estudio, y que ´estas dependen del
par´ametro o vector de par´ametros a estimar. Estas condiciones no
necesariamente se cumplen. Por ejemplo, puede comprobarse que la
siguiente distribuci´on no posee ning´un momento finito: para θ ą 0,

#
θ x ´2 si x ě θ,
fpx; θq“
0 en otro caso.

En este caso el m´etodo de momentos no puede aplicarse.

‚ Soluci´on al sistema de ecuaciones. El m´etodo presupone que la

ecuaci´on o sistema de ecuaciones resultante de la igualaci´on de los
momentos muestrales y poblacionales tiene una ´unica soluci´on y que
´esta es sencilla de encontrar. En general, esto no es as´ı. Cuando se
tienen dos o m´as par´ametros, el sistema de ecuaciones puede no ser
sencillo de resolver, puesto que las ecuaciones no son necesariamente
lineales. Y suponiendo que es posible resolver el sistema de ecuacio-
nes, las expresiones que se encuentran pueden no tener una forma
compacta o sencilla. Por ejemplo, considere el caso de la distribuci´on
hipergeopN, K, nq,en donde los tres par´ametros son desconocidos. El
sistema de ecuaciones resultante no es f´acil de resolver.

‚ Valores del par´ametro. El m´etodo de momentos no garantiza que el
estimador encontrado tome valores en el espacio parametral correspon-
diente. Por ejemplo, si un par´ametro toma valores enteros, el m´etodo
de momentos no necesariamente produce un estimador con valores en-

teros. Por ejemplo, si consideramos que el par´ametro p es conocido en
la distribuci´on binpk, pq ydeseamosestimar elpar´ametro desconocido
k mediante el m´etodo de momentos, entonces es inmediato encontrar
¯
ˆ
la soluci´on k “ X{p,lo queno necesariamenteproduceunvalor entero.

En la Tabla 2.1 se muestran los estimadores por el m´etodo de momen-
tos para los par´ametros de algunas distribuciones discretas conocidas. Se
ha supuesto que X ,...,X es una muestra aleatoria de tama˜no n.Enel
1
n