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2.2 M´ etodo de momentos 97

2
para ˆµ yˆσ .La primera ecuaci´on es expl´ıcita, mientras que la segunda se
puede reescribir como sigue

n
1 ÿ
¯
2
ˆ σ 2 “p X q´ X 2
n i
i“1
n
1 ÿ 2
¯
“ pX ´ Xq
i
n
i“1
n ´ 1 2
“ S .
n
La segunda igualdad no es inmediata, pero s´olo se requiere llevar a cabo algu-
nas operaciones algebraicas sencillas para obtenerla. De esta manera hemos
obtenido estimadores por el m´etodo de momentos para los dos par´ametros
de la distribuci´on normal. Si x ,...,x n son las observaciones obtenidas,
1
entonces las estimaciones, por el m´etodo de momentos, son

n
1 ÿ
ˆ µ “ x ,
i
n
i“1
n
1 ÿ
2
ˆ σ 2 “ px ´ ¯xq .
i
n
i“1
‚

En el siguiente ejemplo se muestran algunos problemas t´ecnicos que pueden
surgir al aplicar el m´etodo de momentos.

Ejemplo 2.12 Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de den-
sidad unifp´θ, θq, en donde θ ą 0esunpar´ametro desconocido. Aplicar el
m´etodo de momentos para encontrar un estimador para θ requiere conocer
el primer momento de esta distribuci´on. Puede comprobarse que el primer

momento es nulo, de modo que la igualaci´on del primer momento poblacio-
nal y el primer momento muestral no produce una ecuaci´on ´util de la cual
¯
puede obtenerse un estimador para θ, a saber, 0 “ X. Se propone entonces
2
2
igualar los segundos momentos. Como EpX q“ θ {3, se obtiene la ecuaci´on
n
1 ˆ 2 1 ÿ 2
θ “ X ,
i
3 n
i“1