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“ED-MathBookFC” — 2017/9/12 — 19:56 — page 39 — #45
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Sea s la varianza del conjunto de datos numéricos x 1 ,... ,x n .Supon-
x
gamos que a cada una de estos números se le suma una misma cantidad
c.Esta constante c puede ser positiva, negativa o cero. Definamos el
nuevo conjunto de datos y i “ x i `c,para i “ 1,... ,n,y denotemos por
2
s a la varianza de estos números. Entonces la varianza del conjunto
y
de datos modificados y 1 ,... ,y n es idéntica a la varianza de x 1 ,... ,x n ,
2
2
es decir, s “ s .Enefecto, recordando que ¯y “ ¯x ` c,tenemos que
y
x
1
2
2
s 2 “ ppy 1 ´ ¯yq `¨ ¨ ¨ `py n ´ ¯yq q
y
n
1 2 2
“ ppx 1 ` c ´ ¯x ´ cq `¨ ¨ ¨ `px n ` c ´ ¯x ´ cq q
n
1
2
2
“ ppx 1 ´ ¯xq `¨ ¨ ¨ ` px n ´ ¯xq q
n
2
“ s .
x
De esta manera, añadir una constante a un conjunto de datos numé-
ricos no modifica su varianza. Esto debe ser intuitivamente claro pues
la dispersión de los datos no se modifica al llevar a cabo una traslación
de esa forma.

Supongamos ahora que a cada uno de los datos numéricos x 1 ,... ,x n
lo multiplicamos por una misma cantidad a, la cual puede ser positiva,
negativa o cero. Definamos nuevamente y i “ ax i ,para i “ 1,... ,n.
Entonces la media del conjunto de datos modificados y 1 ,... ,y n es igual

2 2
al producto a s .Enefecto, recordando que ¯y “ a¯x,tenemos que
x
1
2
2
s 2 “ ppy 1 ´ ¯yq `¨ ¨ ¨ `py n ´ ¯yq q
y
n
1
2
2
“ ppax 1 ´ a¯xq `¨ ¨ ¨ `pax n ´ a¯xq q
n
1 2 2 2 2
“ pa px 1 ´ ¯xq `¨ ¨ ¨ ` a px n ´ ¯xq q
n
1
2 2 2
“ a ¨ ppx 1 ´ ¯xq `¨ ¨ ¨ ` px n ´ ¯xq q
n
2
2
“ a ¨ s .
x
Así, hemos comprobado que la varianza de un conjunto de datos mul-
tiplicados por una constante es igual a la constante al cuadrado mul-
tiplicada por la varianza de los datos originales.

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