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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 71 — #75
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8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 71

En tal caso se escribe X t.n/. La gr´ afica de esta funci´ on de densidad aparece en la
Figura 1.38. Es posible demostrar que E.X/ D 0 para n > 1, y Var.X/ D n=.n 2/
para n > 2. La distribuci´ on t se puede encontrar en los siguientes contextos:

f .x/
n D 100
n D 3
n D 1

0.1
x
4 3 2 1 1 2 3 4

FIGURA 1.38. Funci´ on de densidad t.n/.

2
PROPOSICI ´ ON 1.102. Si X N.0; 1/ y Y .n/ son independientes, entonces
X
t.n/:
p
Y=n
El resultado anterior provee de un mecanismo para generar simulaciones de los
valores que toma una variable aleatoria con distribuci´ on t.n/. Para ello se pueden
generar n observaciones de la distribuci´ on normal est´ andar, y con ello conformar
2
una observaci´ on de la distribuci´ on .n/ como fue explicado antes. Se necesita una
observaci´ on adicional de la distribuci´ on normal est´ andar que ser´ a el valor de X, seg´ un
la f´ ormula de la proposici´ on anterior, se hace el cociente indicado y el resultado ser´ a un
valor de la distribuci´ on t.n/.

PROPOSICI ´ ON 1.103. Sean X 1 ; : : : ; X n variables aleatorias independientes cada una
2
de ellas con distribuci´ on N.; /. Entonces
X N
p t.n 1/;
S= n

n n
1 X 2 1 X
N 2
N
en donde X D X i y S D .X i X/ .
n n 1
iD1 iD1

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