Page 84 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 74 — #78
i i

74 1. PROBABILIDAD

EJEMPLO 1.107 (Simulaci´ on). En este ejemplo se simularon 200 lanzamientos
independientes de una moneda equilibrada, es decir, se generaron 200 valores de una v.a.
con distribuci´ on Ber.p/, con p D 1=2. En la Figura 1.40 se muestra el comportamiento
asint´ otico de los promedios .X 1 C CX n /=n conforme n crece. Los puntos graficados
fueron unidos por una l´ ınea continua para una mejor visualizaci´ on del comportamiento
inicial oscilante y su eventual estabilizaci´ on en el valor 1=2. En este ejemplo hemos
utilizado la distribuci´ on Bernoulli pero cualquier otra distribuci´ on puede ser usada para
observar el comportamiento asint´ otico a la media. En la ´ ultima parte de este cap´ ıtulo
estudiaremos la forma de simular valores de una variable aleatoria en computadora.

S n =n

1=2

n
100 200
FIGURA 1.40. Ley de los grandes n´ umeros.

Teorema central del l´ ımite
Este teorema es muy importante y tiene una amplia gama de aplicaciones. En la segunda
parte del texto veremos varios ejemplos y situaciones que se presentan en el estudio de
la estad´ ıstica matem´ atica, en donde se usa este resultado para aproximar y simplificar
el c´ alculo de algunas probabilidades.
TEOREMA 1.108 (Teorema central del l´ ımite). Sea X 1 ; X 2 ; : : : una sucesi´ on infinita
de variables aleatorias independientes e id´ enticamente distribuidas, con media y
2
varianza finita . Entonces la funci´ on de distribuci´ on de la variable aleatoria
.X 1 C C X n / n
Z n D p
n 2
tiende a la funci´ on de distribuci´ on normal est´ andar cuando n tiende a infinito.
En t´ erminos matem´ aticos este resultado establece que para cualquier n´ umero real
x,
.x/ D F Z .x/;
lKım F Z n
n!1

i i

i i