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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 67 — #71
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8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 67

Al procedimiento anterior se le conoce con el nombre de estandarizaci´ on y bajo tal
transformaci´ on se dice que la variable X ha sido estandarizada. Es com´ un usar la letra
Z para denotar una variable aleatoria con distribuci´ on normal est´ andar, y seguiremos
nosotros tambi´ en esa costumbre. Se deja como ejercicio al lector verificar que realmen-
te la variable aleatoria Z tiene una distribuci´ on normal y que E.Z/ D 0 y Var.Z/ D 1.
Este resultado parece muy modesto pero tiene una gran importancia operacional pues
establece que el c´ alculo de las probabilidades de una variable aleatoria normal cual-
quiera se reduce al c´ alculo de las probabilidades para la normal est´ andar. Explicaremos
ahora con m´ as detalle esta situaci´ on: suponga que X es una variable aleatoria con
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distribuci´ on N.; / y que deseamos calcular, por ejemplo, la probabilidad de que
X tome un valor en el intervalo .a; b/, es decir, P.a < X < b/, para a < b n´ umeros
dados. Tenemos entonces que
P. a < X < b / D P. a < X < b /
a X b
D P. < < /

a b
D P. < Z < /:

La igualdad de estas probabilidades es consecuencia de la igualdad de los eventos
correspondientes. De esta forma una probabilidad que involucra a la variable X se ha
reducido a una probabilidad que involucra a Z. De modo que ´ unicamente necesitamos
conocer las probabilidades de los eventos de Z para calcular las probabilidades de los
eventos de la variable X que tiene par´ ametros arbitrarios.

Funci´ on de distribuci´ on N.0; 1/

Es com´ un denotar a la funci´ on de distribuci´ on de una variable aleatoria con distribuci´ on
normal est´ andar Z como ˚.x/, es decir,
Z x 1
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˚.x/ D P.Z x/ D p e u =2 du;
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cuyo significado geom´ etrico se muestra en la Figura 1.36(a). Seguramente el lector se
sorprender´ a al enterarse que, sin importar el m´ etodo de integraci´ on que se utilice, no es
posible resolver esta integral y encontrar una expresi´ on exacta para ˚.x/. Puede usted
intentar resolver esta integral si lo desea y verificar la dificultad del problema. En la
pr´ actica lo que se hace es usar m´ etodos num´ ericos para encontrar aproximaciones de
˚.x/ para distintos valores de x. En la parte final del texto aparece una tabla con estos
valores aproximados. Cada rengl´ on de esta tabla corresponde a un valor de x hasta el
primer d´ ıgito decimal, las distintas columnas corresponden al segundo d´ ıgito decimal.
El valor que aparece en la tabla es ˚.x/. Por ejemplo, el rengl´ on marcado con 1.4 y
la columna marcada con 0.05 corresponden al valor x D 1:45, tenemos entonces que
˚.1:45/ D 0:9265. Abajo aparecen algunos ejemplos que ilustran el uso de esta tabla.
Observe adem´ as que para x 3:5, la probabilidad ˚.x/ es muy cercana a uno, es decir,

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