Page 83 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 73 — #77
i i

9. DOS TEOREMAS L ´ IMITE 73

9. Dos teoremas l´ ımite
En esta secci´ on enunciaremos sin demostraci´ on dos de los teoremas l´ ımite m´ as im-
portantes en la probabilidad: la ley de los grandes n´ umeros y el teorema central del
l´ ımite. Mostraremos algunos ejemplos de aplicaci´ on y en la segunda parte del libro
haremos uso de ellos. Los enunciados de estos resultados mencionan el concepto de
independencia de varias variables aleatorias, el cual ser´ a revisado m´ as adelante en la
p´ agina 107. Dicho concepto est´ a estrechamente ligado al concepto de independencia
de eventos estudiado antes.

Ley de los grandes n´ umeros

Este interesante resultado establece que bajo ciertas condiciones, el promedio de
variables aleatorias converge a una constante cuando el n´ umero de sumandos crece a
infinito.
TEOREMA 1.105 (Ley de los grandes n´ umeros). Sea X 1 ; X 2 ; : : : una sucesi´ on infinita
de variables aleatorias independientes e id´ enticamente distribuidas con media finita .
Entonces
n
1 X
X i ! :
n
iD1
As´ ı, sin importar la distribuci´ on de las variables aleatorias, el promedio converge
a la media conforme n tiende a infinito. Damos a continuaci´ on dos ejemplos de
aplicaci´ on de este interesante resultado.

EJEMPLO 1.106 (Probabilidad frecuentista). Considere un experimento aleatorio
cualquiera y sea A un evento con probabilidad p. Suponga que se efect´ uan realizacio-
nes independientes del experimento y se observa en cada ensayo la ocurrencia o no
ocurrencia del evento A. Para cada entero k 1 defina la variable aleatoria

1 si ocurre el evento A en el k-´ esimo ensayo,
X k D
0 si no ocurre el evento A en el k-´ esimo ensayo.
Entonces las variables X 1 ; X 2 ; : : : son independientes cada una con distribuci´ on Ber.p/,
en donde p es la probabilidad del evento A. Por lo tanto E.X k / D p y Var.X k / D
p.1 p/. La ley de los grandes n´ umeros asegura que la fracci´ on de ensayos en los que
se observa el evento A converge a la constante desconocida p cuando el n´ umero de
ensayos crece a infinito, es decir,
n
1 X n A
lKım X i D lKım D p:
n!1 n n!1 n
iD1
Esta es la definici´ on frecuentista de la probabilidad que hemos estudiado en la p´ agina 9
y hemos ahora corroborado su validez con ayuda de la ley de los grandes n´ umeros.

i i

i i