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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 70 — #74
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70 1. PROBABILIDAD
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Escribiremos simplemente X .n/, en donde la letra griega se pronuncia
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“ji” o tambi´ en “chi”. Por lo tanto, la expresi´ on “ .n/” se lee “ji cuadrada con n grados
de libertad”. Puede demostrarse sin mucha dificultad que
E.X/ D n;
y Var.X/ D 2n:
La distribuci´ on ji-cuadrada puede obtenerse como indican los varios resultados que a
continuaci´ on enunciaremos y cuyas demostraciones omitiremos. En la segunda parte
del texto se mostrar´ a la utilidad y usos de estos resultados te´ oricos.
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PROPOSICI ´ ON 1.99. Si X N.0; 1/, entonces X .1/.
Es decir, el cuadrado de una variable aleatoria con distribuci´ on normal est´ andar
tiene distribuci´ on ji-cuadrada con un grado de libertad. Por otro lado, el siguiente resul-
tado establece que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribuci´ on
ji-cuadrada tiene distribuci´ on nuevamente ji-cuadrada con grados de libertad la suma
de los grados de libertad de los sumandos.
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PROPOSICI ´ ON 1.100. Si X .n/ y Y .m/ son dos variables aleatorias
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independientes, entonces X C Y tiene distribuci´ on .n C m/.
El resultado anterior puede extenderse al caso cuando se tienen varias variables
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aleatorias independientes con distribuci´ on . En particular, si X 1 ; : : : ; X n son varia-
bles independientes con distribuci´ on normal est´ andar, entonces la suma de los cuadrados
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X C C X tiene distribuci´ on .n/. De este modo, si conocemos una forma de
1 n
simular n valores al azar de la distribuci´ on normal est´ andar, la suma de los cuadrados
de los n´ umeros obtenidos ser´ a una observaci´ on de la distribuci´ on ji-cuadrada con n
grados de libertad. Por ´ ultimo, mencionaremos el siguiente resultado que ser´ a utilizado
en la secci´ on de pruebas de hip´ otesis.
PROPOSICI ´ ON 1.101. Sean X 1 ; : : : ; X n variables aleatorias independientes cada una
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de ellas con distribuci´ on N.; /. Entonces
.n 1/ S 2 2
.n 1/;
2
n n
1 X 1 X
N
N 2
2
en donde S D .X i X/ y X D X i .
n 1 n
iD1 iD1
Distribuci´ on t
Decimos que la variable aleatoria continua X tiene una distribuci´ on t con n grados de
libertad si su funci´ on de densidad est´ a dada por
..n C 1/=2/ 2 .nC1/=2
f .x/ D p .1 C x =n/ ; x 2 R:
n .n=2/

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