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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 66 — #70
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66 1. PROBABILIDAD

densidad est´ a dada por la siguiente expresi´ on
1 .x / =2 2
2
f .x/ D p e ; x 2 R;
2 2
2
en donde 2 R y > 0 son dos par´ ametros. Escribimos entonces X N.; /. La
gr´ afica de esta funci´ on de densidad tiene forma de campana como se puede apreciar
en la Figura 1.35, en donde se muestra adem´ as el significado geom´ etrico de los dos
par´ ametros.
f .x/

x

2
FIGURA 1.35. Funci´ on de densidad N.; /.
Es claro que los posibles valores de una variable aleatoria con esta distribuci´ on es
la totalidad de los n´ umeros reales. Por otro lado, no es dif´ ıcil demostrar que E.X/ D ,
y ello significa que la campana esta centrada en este valor, el cual puede ser negativo,
2
positivo o cero. Tambi´ en puede demostrarse que Var.X/ D , y que la distancia del
punto a cualquiera de los dos puntos en donde la funci´ on tiene puntos de inflexi´ on
es , por lo tanto la campana se abre o se cierra de acuerdo a la magnitud de este
par´ ametro.

Distribuci´ on normal est´ andar

Decimos que la variable aleatoria X tiene una distribuci´ on normal est´ andar si tiene
2
una distribuci´ on normal con par´ ametros D 0 y D 1. En este caso la funci´ on de
densidad se reduce a la expresi´ on
1 x =2
2
f .x/ D p e ; x 2 R:
2
Es posible transformar una variable aleatoria normal no est´ andar en una est´ andar
mediante la siguiente operaci´ on.

PROPOSICI ´ ON 1.93. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on normal con
2
par´ ametros y . Entonces la siguiente variable aleatoria tiene una distribuci´ on
normal est´ andar.
X
(5) Z D :

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