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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 75 — #79
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9. DOS TEOREMAS L ´ IMITE 75

sin importar la distribuci´ on de las variables X 1 ; X 2 ; : : :, as´ ı es que ´ estas pueden tener
distribuci´ on Bernoulli, binomial, exponencial, gama, etc., en general pueden ser discre-
tas o continuas, y siempre se tendr´ a que Z n tiene una distribuci´ on aproximada normal
est´ andar. Esto nos permitir´ a aproximar probabilidades de eventos que involucren su-
mas de variables aleatorias en t´ erminos de probabilidades de la distribuci´ on normal
est´ andar. Observe que dividiendo el numerador y denominador entre n, y definiendo
N
X D .X 1 C C X n /=n, la variable Z n puede escribirse de la siguiente forma
X N
:
Z n D p
2
=n
EJEMPLO 1.109. Se lanza una dado repetidas veces y sean X 1 ; X 2 ; : : : los resul-
tados de estos lanzamientos. Es razonable suponer que estas variables aleatorias son
independientes y con id´ entica distribuci´ on uniforme en el conjunto f1; 2; 3; 4; 5; 6g.
2
N
En particular, la esperanza es D 3:5 y la varianza es D 2:916. Por la ley de
N
los grandes n´ umeros, sabemos que el promedio parcial X D .X 1 C C X n /=n se
aproxima a la media 3:5 conforme n crece. ¿Cu´ antas veces debe lanzarse el dado de tal
N
forma que X se encuentre entre 3 y 4 con una probabilidad de 0:99?
Soluci´ on. Se busca el valor de n tal que
N
P.3 X 4/ D 0:99 :
p
2
Restando en cada lado de las desigualdades la media y dividiendo entre =n, la
igualdad anterior es equivalente a la ecuaci´ on
3 3:5 X N 3:5 4 3:5
/ D 0:99 :
P.p 2 p 2 p 2
=n =n =n
Por el teorema central del l´ ımite, la probabilidad indicada es aproximadamente igual
p p
2
2
a P. 0:5= =n Z 0:5= =n/, en donde Z es una variable aleatoria con
distribuci´ on normal est´ andar. Es decir, tenemos ahora la ecuaci´ on de aproximaci´ on
0:5 0:5
/ / D 0:99 :
˚.p 2 ˚.p 2
=n =n
De tablas de la distribuci´ on normal est´ andar puede verificarse que el valor de x tal que
p
2
˚.x/ ˚. x/ D 0:99 es x D 2:58 . De este modo se tiene que 0:5= =n D 2:58,
de donde se obtiene n D 226:5 .
EJEMPLO 1.110. Se desea dise˜ nar un estacionamiento de coches para un conjunto
de 200 departamentos que se encuentran en construcci´ on. Suponga que para cada
departamento, el n´ umero de autom´ oviles ser´ a de 0, 1 o 2, con probabilidades 0.1, 0.6 y
0.3, respectivamente. Se desea que con una certeza del 95 % haya espacio disponible
para todos los coches cuando los departamentos se vendan. ¿Cu´ antos espacios de
estacionamiento deben construirse?
Soluci´ on. Sean X 1 ; : : : ; X 200 las variables aleatorias que denotan el n´ umero de au-
tom´ oviles que poseen los futuros due˜ nos de los departamentos. Podemos suponer

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