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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 62 — #66
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62 1. PROBABILIDAD

Soluci´ on. Sea X el tiempo de conecci´ on al servidor de correo. Para el primer inciso
tenemos que
Z 1
P.X < 1/ D 1=5 e x=5 dx D 0:181 :
0
Para el segundo inciso,
Z 1
P.X > 60/ D 1=5 e x=5 dx D 0:0000061 :
60
EJEMPLO 1.90. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on exp./. Integrando
la funci´ on de densidad desde menos infinito hasta una valor arbitrario x se encuentra la
funci´ on de distribuci´ on. La gr´ afica de esta funci´ on se muestra en la Figura 1.31(b) y
tiene la siguiente expresi´ on.
(
1 e x si x > 0;
F.x/ D
0 si x 0:

Distribuci´ on gama
La variable aleatoria continua X tiene una distribuci´ on gama con par´ ametros n > 0 y
> 0, y escribimos X gama.n; /, si su funci´ on de densidad es
8
< .x/ n 1 x
f .x/ D .n/ e si x > 0;
:
0 si x 0:
La gr´ afica de esta funci´ on de densidad para varios valores de los par´ ametros se
muestra en la Figura 1.32. A partir de la expresi´ on anterior puede observarse que los
posibles valores para una variable aleatoria con esta distribuci´ on son aquellos n´ umeros
dentro del intervalo .0; 1/.
En la expresi´ on anterior aparece el t´ ermino .n/. Esta es la funci´ on gama que se
define como la siguiente integral
1
Z
.n/ D t n 1 e t dt;
0
para cualquier n´ umero real n tal que esta integral sea convergente. Esta funci´ on no es
el tipo de funciones a las que estamos acostumbrados en los cursos de matem´ aticas
elementales, en donde regularmente se conoce la expresi´ on exacta de una cierta funci´ on
y se utiliza esta expresi´ on para evaluarla. En este caso, para evaluar la funci´ on gama
es necesario substituir el valor de n en el integrando y efectuar la integral infinita.
Afortunadamente no evaluaremos esta integral para cualquier valor de n, s´ olo para
algunos pocos valores, principalmente enteros, y nos ayudaremos de las siguientes
propiedades que no son dif´ ıciles de verificar:
a) .n C 1/ D n .n/.
b) .n C 1/ D nŠ si n es entero.

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