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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 64 — #68
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64 1. PROBABILIDAD

El t´ ermino B.a; b/ se conoce como la funci´ on beta, y de all´ ı adquiere su nombre esta
distribuci´ on. La funci´ on beta se define como sigue:

Z 1
B.a; b/ D x a 1 .1 x/ b 1 dx;
0
para n´ umeros reales a > 0 y b > 0. Esta funci´ on est´ a relacionada con la funci´ on gama,
antes mencionada, a trav´ es de la identidad:
.a/ .b/
B.a; b/ D :
.a C b/
V´ ease la secci´ on de ejercicios para una lista de propiedades de esta funci´ on. Para la
distribuci´ on beta.a; b/ se tiene que E.X/ D a=.a C b/, y Var.X/ D ab=..a C b C
2
1/.a C b/ /. La gr´ afica de la funci´ on de densidad para la distribuci´ on beta se muestra
en la Figura 1.33, para distintos valores de los par´ ametros a y b.

f .x/
a D 4
b D 4

x

FIGURA 1.33. Funci´ on de densidad beta.a; b/.

La distribuci´ on beta puede obtenerse a partir de la distribuci´ on gama como indica
el siguiente resultado.

PROPOSICI ´ ON 1.92. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes con dis-
tribuci´ on gama.a; / y gama.b; /, respectivamente. Entonces la variable aleatoria
X=.X C Y / tiene distribuci´ on beta.a; b/.

Distribuci´ on Weibull
La variable aleatoria continua X tiene una distribuci´ on Weibull con par´ ametros ˛ > 0
y > 0 si su funci´ on de densidad est´ a dada por la siguiente expresi´ on

( .x/ ˛ ˛ 1
e ˛ .x/ si x > 0;
f .x/ D
0 otro caso.

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