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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 57 — #61
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8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 57

r un par´ ametro fijo que toma alguno de los valores 1; 2; : : :. Si la variable aleatoria
X cuenta el n´ umero de fracasos antes de obtener el r-´ esimo ´ exito, entonces decimos
que X tiene una distribuci´ on binomial negativa con par´ ametros r y p, y escribimos
X binneg.r; p/. Es claro que la variable X puede tomar los valores 0; 1; 2; : : : con
probabilidades como indica su funci´ on de probabilidad dada por
8 !
r C x 1
ˆ r x
p .1 p/ si x D 0; 1; 2; : : :
<
f .x/ D P.X D x/ D x
ˆ
0 otro caso.
:
r
En esta f´ ormula aparece el t´ ermino p pues la sucesi´ on de ensayos Bernoulli no
concluye sino hasta obtener r ´ exitos. Podemos tener un n´ umero variable de fracasos,
x
de ah´ ı el t´ ermino .1 p/ , y finalmente el factor rCx 1 que nos dice las diferentes
x
formas en que los r ´ exitos pueden aparecer en los r C x 1 ensayos realizados antes
del ´ ultimo, que necesariamente fue un ´ exito. La gr´ afica de esta funci´ on aparece en la
Figura 1.27 cuando los valores de los par´ ametros son r D 3 y p D 0:2.
f .x/
0.06

0.04 r D 3
p D 0:2
0.02

x
5 10 15 20 25 30
FIGURA 1.27

Es claro que esta distribuci´ on es una generalizaci´ on de la distribuci´ on geom´ etrica,
la cual se obtiene tomando r D 1. Se puede adem´ as demostrar que E.X/ D r.1 p/=p
2
y Var.X/ D r.1 p/=p .
EJEMPLO 1.86. Se lanza repetidas veces una moneda honesta cuyos dos resultados
son cara y cruz. ¿Cu´ al es la probabilidad de obtener la tercera cruz en el quinto
lanzamiento? Soluci´ on: sea X el n´ umero de caras (fracasos) antes de obtener la tercera
cruz. Entonces X binneg.r; p/ con r D 3, p D 1=2, y nos preguntan P.X D 2/.
5
Por lo tanto, P.X D 2/ D 4 .1=2/ D 6=32 D 0:1875 .
2
El nombre de la distribuci´ on binomial negativa surge del siguiente hecho: la
definici´ on de coeficiente binomial puede extenderse para cualquier n´ umero real a y

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