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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 54 — #58
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54 1. PROBABILIDAD

antes de obtener el primer premio?
Soluci´ on: si X denota el n´ umero de participaciones en el juego antes de obtener el
primer premio, entonces X tiene distribuci´ on geom´ etrica de par´ ametro p D 10 6 . Y
por lo tanto la esperanza de la variable X C 1 es el n´ umero promedio de semanas que
deben transcurrir para obtener el primer premio. Este n´ umero es
1 p 1 6
C 1 D D 10 D 1; 000; 000:
p p
Lo que es equivalente a 19; 230 a˜ nos aproximadamente.

EJEMPLO 1.81. Sea X una variable aleatoria con distribuci´ on geo.p/. Efectuando
las sumas parciales de la funci´ on de probabilidad puede encontrarse la correspondiente
funci´ on de distribuci´ on:
8
ˆ 0 si x < 0;
ˆ 1
ˆ 1 .1 p/ si 0 x < 1;
ˆ
ˆ
ˆ
< 2
X 1 .1 p/ si 1 x < 2;
F.x/ D P.X x/ D f .u/ D
ˆ : : : : : :
ux ˆ kC1
ˆ 1 .1 p/ si k x < k C 1;
ˆ
ˆ
ˆ
: : : : : :
:
En algunos textos se define la distribuci´ on geom´ etrica contando el n´ umero de
ensayos (no el de fracasos) antes del primer ´ exito. En este caso la variable es 1 C X, es
decir, la distribuci´ on se desplaza hacia la derecha una unidad, la esperanza es ahora
2
1=p y la varianza permanece constante .1 p/=p .
Distribuci´ on Poisson
Supongamos que deseamos observar el n´ umero de ocurrencias de un cierto evento
dentro de un intervalo de tiempo dado, por ejemplo, el n´ umero de clientes que llegan
a un cajero autom´ atico durante la noche, o tal vez deseamos registrar el n´ umero de
accidentes que ocurren en cierta avenida durante todo un d´ ıa. Para modelar este tipo
de situaciones podemos definir la variable aleatoria X como el n´ umero de ocurrencia
de este evento en el intervalo de tiempo dado. Es claro entonces que X puede tomar
los valores 0; 1; 2; : : :, y en principio no ponemos una cota superior para el n´ umero de
observaciones del evento. Adicionalmente supongamos que conocemos la tasa media
de ocurrencia del evento de inter´ es, que denotamos por la letra (lambda). El par´ ametro
es positivo y se interpreta como el n´ umero promedio de ocurrencias del evento por
unidad de tiempo. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entero
x 0 se definir´ a a continuaci´ on. Decimos que X tiene una distribuci´ on Poisson con
par´ ametro > 0, y escribimos X Poisson./ cuando
8 x
e si x D 0; 1; 2; : : :
<
P.X D x/ D xŠ
:
0 otro caso.

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