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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 56 — #60
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56 1. PROBABILIDAD

Este resultado puede comprobarse usando la f´ ormula de Stirling (ver Ap´ endice) y
establece que cuando X tiene distribuci´ on bin.n; p/ y hacemos tender n a infinito y
p a cero de tal forma que el producto np se mantiene constante igual a , entonces la
variable aleatoria X adquiere la distribuci´ on Poisson con par´ ametro . Este resultado
sugiere que cuando n es grande, la distribuci´ on binomial puede ser aproximada median-
te la distribuci´ on Poisson de par´ ametro D np. Esto es particularmente ´ util pues el
c´ alculo de probabilidades de la distribuci´ on binomial involucra el c´ alculo de factoriales
y ello puede ser computacionalmente demandante. El siguiente ejemplo ilustrar´ a esta
situaci´ on.
EJEMPLO 1.84. En promedio uno de cada 100 focos producido por una m´ aquina
es defectuoso. Use la distribuci´ on Poisson para estimar la probabilidad de encontrar 5
focos defectuosos en un lote de 1000 focos.
Soluci´ on: sea X el n´ umero de focos defectuosos en el lote de 1000 focos. Entonces X
tiene distribuci´ on bin.n; p/ con n D 1000 y p D 1=100. Nos piden calcular
!
1000
5
P.X D 5/ D .1=100/ .99=100/ 995 D 0:0374531116 :
5
Usando la aproximaci´ on Poisson, con D np D 1000=100 D 10,
10 5
P.X D 5/ e 10 D 0:0379841747 :
5Š
Hemos definido a la variable aleatoria Poisson como el n´ umero de ocurrencias
de un cierto evento dentro de un intervalo de tiempo dado, supongamos de longitud
unitaria, Œ0; 1. Suponga ahora que nos interesa observar las ocurrencias del evento
en un intervalo de longitud diferente, por ejemplo Œ0; t, con t > 0. Tal conteo de
ocurrencias tambi´ en sigue una distribuci´ on Poisson pero esta vez de par´ ametro t. Por
ejemplo, si t D 2, entonces el n´ umero de ocurrencias del evento en el intervalo Œ0; 2
tiene distribuci´ on Poisson.2/. El siguiente ejemplo ilustra esta situaci´ on.
EJEMPLO 1.85. El n´ umero de aviones que llegan a un aeropuerto internacional
tiene una distribuci´ on Poisson con una frecuencia de 3 aviones cada 10 minutos. Es
decir, la unidad de medici´ on del tiempo son diez minutos. Entonces
a) La probabilidad de que no llegue ning´ un avi´ on en un periodo de 20 minutos
(dos unidades de tiempo) es P.X D 0/ con D 3 .2/ D 6.
b) La probabilidad de que llegue s´ olo un avi´ on en el minuto siguiente es P.X D
1/ con D 3 .1=10/ D 3=10.
c) La probabilidad de que lleguen dos o mas aviones en un periodo de 15 minutos
es P.X 2/ con D 3 .1:5/ D 4:5.

Distribuci´ on binomial negativa
Consideremos nuevamente el experimento de llevar a cabo una sucesi´ on de ensayos
independientes Bernoulli, en cada uno de los cuales la probabilidad de ´ exito es p. Sea

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