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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 55 — #59
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8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 55

Puede demostrarse que la funci´ on f .x/ arriba definida es efectivamente una funci´ on
de probabilidad para cada valor de > 0 fijo. Para ello se debe recordar el desarrollo
x
de la serie de Taylor de la funci´ on e alrededor de x D 0. La forma de esta funci´ on se
muestra en la Figura 1.26 cuando D 2. Despu´ es de algunos c´ alculos sencillos puede
tambi´ en comprobarse que E.X/ D y Var.X/ D .

f .x/
0.3

0.2 D 2

0.1
x
1 2 3 4 5 6 7 8

FIGURA 1.26

EJEMPLO 1.82. En promedio se reciben 2 peticiones de acceso a una p´ agina web
durante un minuto cualquiera. Utilice el modelo Poisson para calcular la probabilidad
de que en un minuto dado:
a) nadie solicite acceso a la p´ agina.
b) se reciban mas de dos peticiones.
Soluci´ on: sea X el n´ umero de peticiones por minuto y supongamos que X tiene
distribuci´ on Poisson./ con D 2. Para el primer inciso se tiene que
2 0
2
P.X D 0/ D e D 0:135 :
0Š
Para el segundo inciso,
P.X > 2/ D 1 P.X 2/ D 1 .P.X D 0/ C P.X D 1/ C P.X D 2//
2 0 2 1 2 2
D 1 e 2 . C C /
0Š 1Š 2Š
D 0:323 :

Un aspecto interesante de la distribuci´ on Poisson es que puede obtenerse como
l´ ımite de la distribuci´ on binomial del siguiente modo.
PROPOSICI ´ ON 1.83. Sea X con distribuci´ on bin.n; p/ y suponga que el n´ umero de
ensayos n crece a infinito y la probabilidad de ´ exito p decrece a cero de tal forma que
el producto np se mantiene constante igual a . Entonces para cualquier entero x 0,
x

lKım P.X D x/ D e :
n!1 xŠ

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