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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 51 — #55
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8. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 51

Entonces X tiene distribuci´ on Ber.p/. ¿Puede usted encontrar la distribuci´ on de la
variable 1 X?

EJEMPLO 1.76. Sea ˝ el espacio muestral de un experimento aleatorio cualquiera
y sea A ˝ un evento tal que P.A/ D p > 0. Sea X la variable aleatoria dada por la
funci´ on indicadora del conjunto A, es decir, X.!/ es la funci´ on 1 A .!/, la cual aparece
definida abajo. Entonces X tiene distribuci´ on Ber.p/.

1 si ! 2 A;
X.!/ D 1 A .!/ D
0 si ! … A:
Distribuci´ on binomial
Supongamos ahora que tenemos una serie de n ensayos independientes Bernoulli en
donde la probabilidad de ´ exito en cualesquiera de estos ensayos es p. Si denotamos por
E el resultado ´ exito y por F el resultado fracaso, entonces el espacio muestral consiste
de todas las posibles sucesiones de longitud n de caracteres E y F. Usando el principio
n
multiplicativo, es f´ acil ver que el conjunto ˝ tiene 2 elementos. Si ahora definimos la
variable aleatoria X como aquella que cuenta el n´ umero de ´ exitos en cada una de estas
sucesiones, esto es,
X.EE EE/ D n;
X.FE EE/ D n 1;
:
:
:
X.FF FF / D 0;
entonces tenemos que X puede tomar los valores 0; 1; 2; : : : ; n con las probabilidades
que aparecen abajo. Decimos entonces que X tiene una distribuci´ on binomial con
par´ ametros n y p y escribimos X bin.n; p/. La funci´ on de probabilidad de esta
variable aleatoria es
8 !
n
ˆ x n x
p .1 p/ si x D 0; 1; 2; : : : ; n:
<
f .x/ D P.X D x/ D x
ˆ
:
0 otro caso.
Esta f´ ormula puede justificarse de la siguiente forma: deseamos obtener el evento de
que en n ensayos Bernoulli aparezcan x ´ exitos y n x fracasos. Preliminarmente la
probabilidad de este evento es el n´ umero
x
p p .1 p/ .1 p/ D p .1 p/ n x ;
„ƒ‚… „ ƒ‚ …
x n x
pero hemos colocado los x ´ exitos en los primeros x ensayos, tenemos entonces que
multiplicar por las diferentes formas en que estos x ´ exitos pueden distribuirse en los n
n
ensayos, este factor es el coeficiente binomial . Despu´ es de algunos c´ alculos puede
x
demostrarse que para esta distribuci´ on E.X/ D np y Var.X/ D np.1 p/.

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