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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 42 — #46
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42 1. PROBABILIDAD

Esperanza de una funci´ on de una variable aleatoria
En algunos casos es necesario calcular la esperanza de una funci´ on de una variable
aleatoria, por ejemplo, si X es una variable aleatoria, entonces es claro que Y D X 2
es una funci´ on de X y es tambi´ en una variable aleatoria. Si quisi´ eramos calcular la
esperanza de Y seg´ un la definici´ on tendr´ ıamos que calcular

Z 1
E.Y / D y f Y .y/ dy;
1
para lo cual se necesita encontrar primero la funci´ on de densidad de Y y ello en general
no es f´ acil. El siguiente resultado es muy ´ util y nos dice la forma de calcular esta
esperanza conociendo ´ unicamente la funci´ on de densidad de X. A este resultado a
veces se le refiere como el teorema del estad´ ıstico inconsciente.

PROPOSICI ´ ON 1.60. Sea X una variable aleatoria continua y sea g W R ! R una
funci´ on tal que g.X/ es una variable con esperanza finita. Entonces
Z 1
(4) EŒg.X/ D g.x/ f X .x/ dx:
1
En general, la demostraci´ on de este resultado es complicada, as´ ı es que la omiti-
remos y nos concentraremos en su uso y aplicaci´ on. El resultado est´ a enunciado en
el caso continuo pero tambi´ en es v´ alido en el caso discreto, en donde en lugar de la
integral aparece una suma.
2
EJEMPLO 1.61. Calcularemos E.Y / en donde Y D X y X es la variable
aleatoria continua del ejemplo anterior, es decir, con funci´ on de densidad f .x/ D 2x
para x 2 .0; 1/. Por la proposici´ on anterior tenemos que
1 1
Z Z
2
2
3
E.Y / D E.X / D x f .x/ dx D 2x dx D 1=2:
1 0
Ahora, como un ejercicio para el lector, intente encontrar la funci´ on de densidad de Y
y calcule E.Y / usando la definici´ on de esperanza. El resultado debe ser nuevamente
1=2.
EJEMPLO 1.62. Sea X una variable aleatoria con funci´ on de probabilidad dada
por la tabla que aparece abajo.
x -2 -1 0 1 2
f X .x/ 2/8 1/8 2/8 1/8 2/8
2
Nos interesa calcular la esperanza de la variable aleatoria Y D X . Un primer m´ etodo
consiste en calcular primero la funci´ on de probabilidad de la variable Y . Esta funci´ on
es
y 0 1 4
f Y .y/ 2/8 2/8 4/8

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