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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 46 — #50
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46 1. PROBABILIDAD

As´ ı, los momentos de una variable aleatoria X son la colecci´ on de n´ umeros:
E.X/ Primer momento
2
E.X / Segundo momento
3
E.X / Tercer momento

Para variables aleatorias discretas el n-´ esimo momento se calcula como sigue:
1
n
n
E.X / D X x f .x i /;
i
iD0
mientras que para variables aleatorias continuas la f´ ormula es la siguiente:
1
Z
n
n
E.X / D x f .x/ dx:
1
Observe que el primer momento es simplemente la esperanza de la variable aleatoria y
2
2
recordando la f´ ormula Var.X/ D E.X / E .X/, puede decirse ahora que la varianza
es el segundo momento menos el primer momento al cuadrado. Existen interpretaciones
conocidas para los primeros momentos pero es dif´ ıcil encontrar alguna interpretaci´ on
para todos ellos. Los momentos indican, sin embargo, alguna caracter´ ıstica num´ erica
de la variable aleatoria: el primer momento es el valor promedio, el segundo momento
est´ a relacionado con la dispersi´ on de los valores de la variable aleatoria, el tercer
momento est´ a relacionado con la simetr´ ıa de la correspondiente funci´ on de densidad.
Esta situaci´ on de interpretaci´ on de los momentos de una variable aleatoria es muy
similar a la situaci´ on de interpretaci´ on de las derivadas de una funci´ on: conocemos un
interpretaci´ on mec´ anica o geom´ etrica para las primeras derivadas de una funci´ on pero
no conocemos un significado para todas y cada una de las derivadas. ¿Qu´ e interpretaci´ on
tiene la sexta derivada de una funci´ on? Bajo ciertas condiciones que establece el
teorema de Taylor del c´ alculo diferencial e integral, a partir de las derivadas de una
funci´ on en un punto se puede reconstruir la funci´ on misma. De manera an´ aloga, bajo
ciertas condiciones, a partir de todos los momentos de una variable aleatoria, se puede
identificar plenamente a la variable aleatoria a trav´ es de su distribuci´ on.
EJEMPLO 1.69. Considere una variable aleatoria continua con funci´ on de densidad
la que aparece abajo. No es dif´ ıcil comprobar que el primer momento es cero y el
segundo momento es 1=6.
8
< x C 1 si 1 < x < 0;
f .x/ D 1 x si 0 x < 1;
0 otro caso.
:
EJEMPLO 1.70. El n-´ esimo momento de una variable aleatoria continua X con
funci´ on de densidad f .x/ D x=2, para x 2 .0; 2/, es
2 nC1
n
E.X / D :
n C 2

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