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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 45 — #49
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7. ESPERANZA, VARIANZA, MOMENTOS 45

la constante c es una v.a. con un ´ unico valor, de modo que E.c/ D c y entonces
2
Var.X/ D E.c c/ D 0. Para el inciso .c/ tenemos que
Var.cX/ D EŒcX E.cX/ 2
D EŒcX cE.X/ 2
2
D c EŒX E.X/ 2
2
D c Var.X/:
El inciso .d/ se sigue del siguiente an´ alisis:
2
2
Var.X C c/ D EŒ.X C c/ E.X C c/ D EŒX E.X/ D Var.X/:
Para demostrar la propiedad .e/ se desarrolla el cuadrado en la definici´ on de varianza y
se usa la propiedad de linealidad de la esperanza:
Var.X/ D EŒX E.X/ 2
2
D EŒX 2 2XE.X/ C E .X/
2
2
D E.X / 2E.X/E.X/ C E .X/
2
2
D E.X / E .X/:
Finalmente para demostrar la propiedad .f / es suficiente dar un ejemplo. Puede
tomarse el caso Y D X, en general y por lo demostrado antes, no se cumple que
Var.2X/ D 2 Var.X/.

De estas propiedades generales se obtiene en particular que la varianza es siempre
una cantidad no negativa y que no cumple la propiedad de linealidad, pues en general
no separa sumas y cuando aparecen constantes como factores, las constantes se separan
de la varianza elev´ andolas al cuadrado.
EJEMPLO 1.67. Considere una variable aleatoria continua X con funci´ on de
densidad dada por f .x/ D e x , para x > 0. Usando la definici´ on de esperanza y
varianza puede comprobarse que E.X/ D 1, y Var.X/ D 1.

EJEMPLO 1.68. Sea X una variable aleatoria con varianza finita y sean a y b dos
constantes. Usando las propiedades demostradas para la varianza puede verificarse la
f´ ormula
2
Var.aX C b/ D a Var.X/:

Momentos
Finalmente definimos el n-´ esimo momento de una variable aleatoria X, cuando existe,
n
como el n´ umero E.X / para cada n D 1; 2; : : : suponiendo que tal esperanza exista.

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