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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 38 — #42
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38 1. PROBABILIDAD

En los ejemplos anteriores se ha mostrado la forma de obtener F.x/ a partir de
f .x/. Ahora explicaremos el proceso contrario, es decir, obtener f .x/ a partir de F.x/.
En el caso continuo tenemos que para toda x en R,
Z x
F.x/ D P.X x/ D f .u/ du;
1
de modo que por el Teorema Fundamental del C´ alculo, y cuando F.x/ es diferenciable,
tenemos que
0
F .x/ D f .x/:
De este modo podemos encontrar f .x/ a partir de F.x/. En el siguiente ejemplo se
muestra la forma de llevar a cabo este procedimiento.
EJEMPLO 1.52. Considere la funci´ on de distribuci´ on
8
< 0 si x < 1;
3
F.x/ D .1 C x /=2 si 1 x < 1;
1 si x 1:
:
Observamos que se trata de una funci´ on continua y diferenciable. Derivando entonces
en cada una de las tres regiones de definici´ on se encuentra que
2
3x =2 si 1 < x < 1;
f .x/ D
0 otro caso.
En el caso discreto, la funci´ on de probabilidad se obtiene de la funci´ on de distribu-
ci´ on del siguiente modo:
f .x/ D P.X D x/ D F.x/ F.x /;
en donde F.x / es el l´ ımite por la izquierda de la funci´ on F en el punto x. An´ alo-
gamente, la expresi´ on F.xC/ significa el l´ ımite por la derecha de la funci´ on F en el
punto x. En s´ ımbolos,
F.x / D lKım F.x h/; con h > 0;
h!0
F.xC/ D lKım F.x C h/; con h > 0:
h!0
EJEMPLO 1.53. Considere la funci´ on de distribuci´ on
8
ˆ 0 si x < 1;
ˆ
1=3 si 1 x < 0;
<
F.x/ D
ˆ 2=3 si 0 x < 1;
ˆ
1 si x 1:
:
Al graficar esta funci´ on uno puede darse cuenta que se trata de una funci´ on constante
por pedazos. Los puntos donde esta funci´ on tiene incrementos y los tama˜ nos de estos
incrementos determinan la correspondiente funci´ on de probabilidad, la cual est´ a dada
por

1=3 si x D 1; 0; 1;
f .x/ D
0 otro caso.

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