Page 50 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 40 — #44
i i

40 1. PROBABILIDAD

b) P.X > 0/ D 1=3.
c) P.0 < X 1/ D 1=3.
d) P.X D 0/ D 1=3.
Para concluir esta secci´ on mencionaremos que el t´ ermino distribuci´ on o distri-
buci´ on de probabilidad de una v.a. se refiere a cualquiera de las dos funciones: a la
funci´ on de probabilidad (o de densidad) f .x/ o a la funci´ on de distribuci´ on F.x/.
8
ˆ Funci´ on de probabilidad
Distribuci´ on ˆ
< (o de densidad) f .x/
de D
probabilidad ˆ
ˆ
Funci´ on de distribuci´ on F.x/
:
7. Esperanza, varianza, momentos
Todos los seres humanos tenemos caracter´ ısticas num´ ericas que nos identifican y nos
distinguen de otras personas, por ejemplo, la edad, la estatura, la talla, el peso, etc.
Si pudi´ eramos considerar la totalidad de todos estos n´ umeros para una persona en
particular, la identificar´ ıamos de manera ´ unica. Algo similar sucede con las variables
aleatorias. En esta secci´ on estudiaremos algunas caracter´ ısticas num´ ericas asociadas a
las variables aleatorias que, bajo ciertas condiciones, las identifican de manera ´ unica.

Esperanza
La esperanza de una variable aleatoria X es un n´ umero denotado por E.X/ y que se
calcula como sigue: si X es discreta con valores x 0 ; x 1 ; : : :, entonces
1
X
E.X/ D x i P.X D x i /;
iD0
suponiendo que esta suma es absolutamente convergente, es decir, la suma de los
valores absolutos es convergente. El n´ umero de sumandos puede ser finito o infinito,
dependiendo del conjunto de valores de la variable aleatoria. Si X es continua con
funci´ on de densidad f .x/, entonces la esperanza es
Z 1
E.X/ D xf .x/ dx;
1
suponiendo que esta integral es absolutamente convergente, esta hip´ otesis significa que
la integral de los valores absolutos es convergente. Si la suma o integral anteriores no
cumplen esta condici´ on de convergencia absoluta, entonces se dice que la esperanza
no existe. La esperanza de una variable aleatoria es entonces un n´ umero que indica
el promedio ponderado de los diferentes valores que puede tomar la variable. A la
esperanza se le conoce tambi´ en con los nombre de: media, valor esperado o valor
promedio. En general se usa la letra griega (mu) para denotarla. Hemos se˜ nalado que

i i

i i