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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 43 — #47
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7. ESPERANZA, VARIANZA, MOMENTOS 43

Entonces usando la definici´ on de esperanza para variables aleatorias discretas tenemos
que
2 2 4 9
E.Y / D 0 C 1 C 4 D :
8 8 8 4
Ahora calcularemos la misma esperanza pero usando (4). El resultado es el mismo.
2 2 1 2 2 2 1 2 2 9
2
E.Y / D . 2/ C . 1/ C .0/ C .1/ C .2/ D :
8 8 8 8 8 4
He aqu´ ı algunas propiedades generales de la esperanza.
PROPOSICI ´ ON 1.63. Sean X y Y con esperanza finita y sea c una constante. Entonces
a) E.c/ D c.
b) E.c X/ D c E.X/.
c) Si X 0, entonces E.X/ 0.
d) E.X C Y / D E.X/ C E.Y /.
La primera propiedad es evidente de demostrar pues si X es la variable aleatoria
constante c, entonces por definici´ on, E.X/ D c P.X D c/ D c 1 D c. El segundo in-
ciso se sigue directamente de la definici´ on de esperanza pues tanto en el caso de la suma
como en el caso de la integral, la constante c puede siempre colocarse fuera. El tercer
inciso tambi´ en es evidente pues cuando se cumple la hip´ otesis, en la integral o suma
correspondiente solo aparecer´ an t´ erminos que son no negativos. La ´ ultima propiedad,
en cambio, no es sencilla de demostrar y a´ un en el caso discreto requiere de detalles
t´ ecnicos que preferimos omitir. Observe que la segunda y cuarta propiedad establecen
que la esperanza es lineal, es decir, separa sumas y tambi´ en separa multiplicaciones
por constantes.

Varianza
Vamos ahora a definir otra caracter´ ıstica num´ erica asociada a las variables aleatorias
llamada varianza. Se denota por Var.X/ y para una variable aleatoria discreta con
valores x 0 ; x 1 ; : : : se define como sigue
1
2
X
Var.X/ D .x i / f .x i /;
iD0
en donde es la esperanza de X y bajo la hip´ otesis de que dicha suma es convergente.
Por supuesto, cuando la variable aleatoria s´ olo toma un n´ umero finito de valores, la
suma es finita. Observe que se necesita conocer la esperanza de X para calcular su
varianza. En el caso continuo, para una variable aleatoria continua X con funci´ on de
densidad f .x/ se define
Z 1
2
Var.X/ D .x / f .x/ dx:
1

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