Page 57 - cepe2012.pdf

i i

“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 47 — #51
i i

7. ESPERANZA, VARIANZA, MOMENTOS 47

Definimos tambi´ en el n-´ esimo momento central de X, cuando existe, como el
n´ umero
n
EŒ.X /  para n D 1; 2; : : :
en donde D E.X/. Observe que el segundo momento central es la varianza. Tenemos
entonces que si X es una variable aleatoria discreta con valores x 0 ; x 1 ; : : :, entonces el
n-´ esimo momento de X, si existe, se calcula como sigue:
1
X
n
n
EŒ.X /  D .x i / f .x i / :
iD0
Para el caso continuo,
Z 1
n
n
EŒ.X /  D .x / f .x/ dx:
1
EJEMPLO 1.71. Considere una variable aleatoria X con funci´ on de densidad
8
< x si 0 < x < 1;
f .x/ D 2 x si 1 x < 2;
0 otro caso.
:
Resolviendo la integral correspondiente puede encontrarse el n-´ esimo momento central
de esta variable aleatoria, dicho momento es
1 C . 1/ n
n
E.X / D :
.n C 1/.n C 2/
Cuantiles
Los cuantiles son otras caracter´ ısticas num´ ericas que pueden definirse para una distri-
buci´ on de probabilidad. Sea X una variable aleatoria con funci´ on de distribuci´ on F.x/
y sea p una probabilidad en el intervalo .0; 1. Se dice que el n´ umero c p es el cuantil p
de X o de su distribuci´ on si es el n´ umero m´ as peque˜ no que satisface
F.c p / p:
Esto significa que hasta el valor c p la funci´ on de distribuci´ on acumula por lo menos
una probabilidad de p. V´ ease la Figura 1.20. Cuando la distribuci´ on es continua, la
desigualdad anterior puede escribirse en t´ erminos de una igualdad: el cuantil p es el
n´ umero c p m´ as peque˜ no que cumple
F.c p / D p:
Suelen utilizarse tambi´ en las expresiones “c p es el cuantil de orden p” o “c p es
el cuantil al 100p %”, as´ ı tenemos por ejemplo, c 0:1 es el cuantil al 10 %, c 0:2 es el
cuantil al 20 %, etc. Cuando la probabilidad p toma los valores 0:25, 0:50, 0:75 y 1,
en lugar de cuantil se puede usar el t´ ermino cuartil, de este modo la distribuci´ on de
probabilidad se divide en cuatro cuartos de id´ entica probabilidad cada uno. V´ ease la
Figura 1.21. En este caso c 1 es finito pero no es dif´ ıcil imaginar situaciones en donde
es infinito.

i i

i i