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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 41 — #45
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7. ESPERANZA, VARIANZA, MOMENTOS 41

la integral o suma arriba mencionados pueden no ser convergentes y en ese caso se dice
que la variable aleatoria no tiene esperanza finita, en los ejercicios 147 y 148 pueden
encontrarse ejemplos en donde se ilustra esta situaci´ on. La esperanza es uno de los
conceptos m´ as importantes en probabilidad y tiene un amplio uso en las aplicaciones
y otras ramas de la ciencia. Para llevar a cabo el c´ alculo de esperanzas, a partir de
este momento resultar´ a muy ´ util conocer algunas f´ ormulas para llevar a cabo sumas
y poseer un pleno manejo de las t´ ecnicas de integraci´ on. Mediante algunos ejemplos
ilustraremos a continuaci´ on la forma de calcular esperanzas.

EJEMPLO 1.56 (Caso discreto). Sea X una variable aleatoria discreta con funci´ on
de probabilidad dada por la siguiente tabla:

x -1 0 1 2
f .x/ 1/8 4/8 1/8 2/8

La esperanza de X es el n´ umero

X
E.X/ D x f .x/
x
D 1 1=8 C 0 4=8 C 1 1=8 C 2 2=8
D 1=2:

Observe que la suma se efect´ ua para todos los valores de x indicados en la tabla, es decir:
1; 0; 1 y 2. Tambi´ en es instructivo observar que la esperanza no es necesariamente
uno de los valores tomados por la variable aleatoria. En este ejemplo el valor 1=2 nunca
es tomado por la variable aleatoria pero es su valor esperado.

EJEMPLO 1.57 (Caso continuo). Considere la variable aleatoria continua X con
funci´ on de densidad f .x/ D 2x, para x 2 .0; 1/, siendo cero fuera de este intervalo.
La esperanza de X es
Z 1 Z 1 2 ˇ ˇ 1 2
E.X/ D x f .x/ dx D x 2x dx D x 3 ˇ D :
1 0 3 ˇ 0 3
Observe que la integral s´ olo es relevante en el intervalo .0; 1/, pues fuera de dicho
intervalo la funci´ on de densidad se anula.

EJEMPLO 1.58. Considere una variable aleatoria continua X con funci´ on de
densidad f .x/ D jxj, para 1 < x < 1. Compruebe que la esperanza de esta variable
aleatoria es cero.

EJEMPLO 1.59. Sea X una variable aleatoria discreta con posibles valores en el
conjunto f1; 2; : : : ; ng y tal que la probabilidad de que tome cualquiera de estos valores
es 1=n. Compruebe que la esperanza de X es .n C 1/=2.

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