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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 44 — #48
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44 1. PROBABILIDAD

Es interesante observar que la varianza puede escribirse en ambos casos (discreto y
continuo) en una sola expresi´ on como sigue
2
Var.X/ D E .X / :
Esto corresponde a la esperanza de una funci´ on de una variable aleatoria, siendo en
2
este caso la funci´ on cuadr´ atica x 7! .x / . La varianza es una medida del grado de
dispersi´ on de los diferentes valores tomados por la variable. Se le denota regularmente
2
por la letra (sigma cuadrada). A la ra´ ız cuadrada positiva de la varianza, esto es ,
se le llama desviaci´ on est´ andar. Como en el caso de la esperanza, la anterior suma o
integral puede no existir (no ser convergente), y en ese caso decimos que la variable
aleatoria no tiene varianza finita. Veamos algunos ejemplos sencillos.

EJEMPLO 1.64. Calcularemos la varianza de la variable aleatoria discreta X con
funci´ on de densidad dada por la siguiente tabla.
x -1 0 1 2
f .x/ 1/8 4/8 1/8 2/8
Recordemos primeramente que por c´ alculos previos, D 1=2. Aplicando la definici´ on
de varianza tenemos que
X 2
Var.X/ D .x / f .x/
x
2
2
D . 1 1=2/ 1=8 C .0 1=2/ 4=8
2
2
C.1 1=2/ 1=8 C .2 1=2/ 2=8
D 1:
EJEMPLO 1.65. Calcularemos la varianza de la variable aleatoria continua X
con funci´ on de densidad f .x/ D 2x para x 2 .0; 1/. En un c´ alculo previo hab´ ıamos
encontrado que D 2=3. Por lo tanto,
1 1
Z Z
2
2
Var.X/ D .x / f .x/ dx D .x 2=3/ 2x dx D 1=18:
1 0
Ahora enunciamos algunas propiedades de la varianza.
PROPOSICI ´ ON 1.66. Sean X y Y dos variables aleatorias, y sea c una constante.
Entonces
a) Var.X/ 0.
b) Var.c/ D 0.
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c) Var.c X/ D c Var.X/.
d) Var.X C c/ D Var.X/.
2
2
e) Var.X/ D E.X / E .X/.
f) En general, Var.X C Y / ¤ Var.X/ C Var.Y /.
DEMOSTRACI ´ ON. El inciso .a/ es evidente a partir de la definici´ on de varianza
pues en ella aparece una suma o integral de t´ erminos no negativos. Para el inciso .b/

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