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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 39 — #43
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6. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCI ´ ON 39

Mencionaremos a continuaci´ on algunas propiedades generales v´ alidas para toda
funci´ on de distribuci´ on, sea ´ esta discreta o continua.
PROPOSICI ´ ON 1.54. Toda funci´ on de distribuci´ on F.x/ satisface las siguientes pro-
piedades:
a) lKım F.x/ D 1.
x!1
b) lKım F.x/ D 0.
x!1
c) Si x 1 x 2 , entonces F.x 1 / F.x 2 /.
d) F.x/ D F.xC/.
DEMOSTRACI ´ ON.
a) Cuando x tiende a infinito el conjunto .X x/ se aproxima al conjunto
.X 1/ que es id´ entico a ˝, por lo tanto, cuando x ! 1, F.x/ !
P.X 1/ D P.˝/ D 1.
b) An´ alogamente el conjunto .X x/ se aproxima al conjunto .X 1/ D ;
cuando x tiende a menos infinito. Por lo tanto, cuando x ! 1, F.x/ !
P.X 1/ D P.;/ D 0.
c) Observe que el evento .x 1 < X x 2 / puede descomponerse en la diferencia
.X x 2 / .X x 1 /, en donde .X x 1 / .X x 2 /. Por lo tanto
P.x 1 < X x 2 / D P.X x 2 / P.X x 1 / D F.x 2 / F.x 1 /. Como la
probabilidad es no negativa, se concluye que F.x 1 / F.x 2 /.
d) Para h > 0 tenemos que F.x C h/ D P.X x C h/ D P.X x/ C P.x <
X xCh/, de modo que cuando h tiende a cero, el conjunto .x < X xCh/
tiende al conjunto vac´ ıo. Concluimos entonces que, cuando h ! 0 con h > 0,
F.x C h/ ! F.x/ C P.;/ D F.x/.

Rec´ ıprocamente, toda funci´ on F.x/ W R ! Œ0; 1 que cumpla las cuatro propie-
dades anteriores (sin tener una variable aleatoria de por medio) se le llama funci´ on
de distribuci´ on. La propiedad (c) significa que F.x/ es una funci´ on mon´ otona no
decreciente, mientras que la propiedad (d) establece que F.x/ es una funci´ on continua
por la derecha. Observe que a partir de la demostraci´ on desarrollada para la propiedad
(c), tenemos que
P.x 1 < X x 2 / D F.x 2 / F.x 1 /;
en donde X es una variable aleatoria con funci´ on de distribuci´ on F.x/ y x 1 x 2 .
EJEMPLO 1.55. Sea X una variable aleatoria con funci´ on de distribuci´ on
8
ˆ 0 si x < 1;
ˆ
1=3 si 1 x < 0;
<
F.x/ D
ˆ 2=3 si 0 x < 1;
ˆ
1 si x 1:
:
Como un ejemplo del c´ alculo de probabilidades usando la funci´ on de distribuci´ on,
verifique el lector los siguientes resultados:
a) P.X 1/ D 1.

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