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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 36 — #40
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36 1. PROBABILIDAD

Funci´ on de distribuci´ on
Sea X una variable aleatoria discreta o continua. La funci´ on de distribuci´ on de X,
denotada por F.x/ W R ! Œ0; 1, se define como

(3) F.x/ D P.X x/:
Esto es, la funci´ on de distribuci´ on evaluada en un n´ umero x cualquiera es simplemente
la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor o igual a x, o en otras
palabras, que tome un valor en el intervalo .1; x. Siendo F.x/ una probabilidad,
sus valores est´ an siempre entre cero y uno. En el caso discreto, suponiendo que f .x/
es la funci´ on de probabilidad de X, la funci´ on de distribuci´ on (3) se calcula como sigue
X
F.x/ D f .u/:
ux
En el caso continuo, si f .x/ es la funci´ on de densidad de X, por (3) se tiene que
Z x
F.x/ D f .u/ du:
1
Esta funci´ on resulta ser importante y se le conoce tambi´ en, por razones evidentes,
con el nombre de funci´ on de acumulaci´ on de probabilidad. Con un par de ejemplo
mostraremos la forma de calcular esta funci´ on a partir de la funci´ on de probabilidad o
de densidad.
EJEMPLO 1.48 (Caso discreto). Considere la variable aleatoria discreta X de la
Figura 1.16. Tenemos que la correspondiente funci´ on de distribuci´ on evaluada en x se
calcula sumando las probabilidades P.X D u/ para valores de u menores o iguales a
x, es decir,
8
ˆ 0 si x < 1,
ˆ
<
X 0.3 si 1 x < 2,
F.x/ D P.X x/ D P.X D u/ D
ˆ 0.8 si 2 x < 3,
ux ˆ
1 si x 3,
:
cuya gr´ afica aparece en la Figura 1.19 (a). Este es el comportamiento t´ ıpico de una
funci´ on de distribuci´ on discreta, es no decreciente, constante por pedazos, y si la
funci´ on tiene una discontinuidad en x, entonces el tama˜ no de tal discontinuidad es
exactamente la probabilidad de que la variable aleatoria tome ese valor.
EJEMPLO 1.49 (Caso continuo). Considere ahora la variable aleatoria continua X
de la Figura 1.18. La correspondiente funci´ on de distribuci´ on se obtiene calculando la
siguiente integral separando el c´ alculo en tres casos distintos:
8
Z x < 0 si x 1,
F.x/ D P.X x/ D f .u/ du D .x 1/=2 si 1 < x < 3.
1 : 1 si x 3,
La gr´ afica de esta funci´ on aparece en la Figura 1.19 (b). Observe que esta funci´ on es
continua y no decreciente.

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