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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 35 — #39
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6. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCI ´ ON 35

Es decir, la probabilidad de que la variable tome un valor dentro del intervalo Œa; b
se puede calcular o expresar como el ´ area bajo la funci´ on de densidad en dicho intervalo.
De esta forma el c´ alculo de una probabilidad se reduce al c´ alculo de una integral. V´ ease
la Figura 1.17 en donde se muestra esta forma de calcular probabilidades. No es dif´ ıcil
comprobar que toda funci´ on de densidad f .x/ de una variable aleatoria continua
cumple las siguientes propiedades an´ alogas al caso discreto.
a) f .x/ 0, para toda x 2 R.
1
Z
b) f .x/ dx D 1.
1
Rec´ ıprocamente, toda funci´ on f .x/ W R ! Œ0; 1/ que satisfaga estas dos propiedades
(sin necesidad de tener una variable aleatoria de por medio) se llamar´ a funci´ on de
densidad.

EJEMPLO 1.46. La funci´ on dada por

1=2 si x 2 .1; 3/,
f .x/ D
0 otro caso,
es la funci´ on de densidad de una variable aleatoria continua que toma valores en el
intervalo .1; 3/ y cuya gr´ afica aparece en la Figura 1.18. Observe que se trata de una
funci´ on no negativa y cuya integral vale uno.

f .x/

1=2

x
1 2 3 4

FIGURA 1.18

EJEMPLO 1.47. Encontraremos el valor de la constante c que hace que la siguiente
funci´ on sea de densidad.

c jxj si x 2 Œ 1; 1;
f .x/ D
0 otro caso.
Se trata de una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo Œ 1; 1.
Como esta funci´ on debe integrar uno tenemos que
1 1
Z Z
1 D c jxj dx D c 2 x dx D c:
1 0
Por lo tanto, cuando tomamos c D 1 esta funci´ on resulta ser una funci´ on de densidad
pues ahora cumple con ser no negativa e integrar uno.

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