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“cepeMathBookFC” — 2012/12/11 — 19:57 — page 33 — #37
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6. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCI ´ ON 33

Funci´ on de probabilidad para una v.a. discreta
Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x 0 ; x 1 ; : : : con probabi-
lidades respectivas P.X D x 0 /; P.X D x 1 /; : : :. Esta lista de valores num´ ericos y
sus probabilidades puede ser finita o bien infinita, pero numerable. La funci´ on de
probabilidad de la variable X denotada por f .x/ W R ! Œ0; 1/ se define como sigue

(
P.X D x/ si x D x 0 ; x 1 ; : : :
(2) f .x/ D
0 otro caso.
En palabras, la funci´ on de probabilidad es simplemente aquella funci´ on que indica la
probabilidad en los distintos valores que toma la variable aleatoria. Recordemos que es
importante poder distinguir entre X y x, pues conceptualmente son cosas muy distintas.
Denotaremos generalmente a una funci´ on de probabilidad con la letra f min´ uscula.
A veces escribiremos f X .x/ y el sub´ ındice nos ayudar´ a a especificar que tal funci´ on
es la funci´ on de probabilidad de la variable X. Esta notaci´ on ser´ a particularmente ´ util
cuando consideremos varias variables aleatorias a la vez. A toda funci´ on de la forma (2)
la llamaremos funci´ on de probabilidad. Observe que se cumplen las siguientes dos
propiedades:
a) f .x/ 0, para toda x 2 R.
1
X
b) f .x i / D 1.
iD0
Rec´ ıprocamente, a toda funci´ on f .x/ W R ! Œ0; 1 que sea cero excepto en ciertos
puntos x 0 ; x 1 ; : : : en donde la funci´ on toma valores positivos se le llamar´ a funci´ on de
probabilidad si cumple con las dos propiedades anteriores.

EJEMPLO 1.44. Considere la variable aleatoria discreta X que toma los valores 1,
2 y 3, con probabilidades 0.3, 0.5 y 0.2 respectivamente. Observe que no se especifica
ni el experimento aleatorio ni el espacio muestral, ´ unicamente los valores de la variable
aleatoria y las probabilidades asociadas. La funci´ on de probabilidad de X es
8
ˆ 0.3 si x D 1,
ˆ
0.5 si x D 2,
<
f .x/ D
ˆ 0.2 si x D 3,
ˆ
0 otro caso.
:
Esta funci´ on se muestra gr´ aficamente en la Figura 1.16 (a). Alternativamente podemos
tambi´ en expresar esta funci´ on mediante la tabla de la Figura 1.16 (b). En esta repre-
sentaci´ on se entiende de manera impl´ ıcita que f .x/ es cero para cualquier valor de
x distinto de 1, 2 y 3. En particular, no debe ser dif´ ıcil para el lector comprobar que
las siguientes probabilidades son correctas: P.X 2/ D 0:7, P.jXj D 1/ D 0:3 y
P.X < 1/ D 0.

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